y(k)+1/2y(k-1)=f(k)的稳态响应
时间: 2024-06-06 13:10:09 浏览: 3
这是一个差分方程,可以通过 Z 变换求解。将 y(k) 的 Z 变换记为 Y(z),f(k) 的 Z 变换记为 F(z),则有:
Y(z) / z + 1/2 Y(z) / z^2 = F(z)
整理得:
Y(z) = 2 z F(z) / (z + 1)^2
对上式进行部分分式分解,得到:
Y(z) = A / (z + 1) + B / (z + 1)^2
其中,A 和 B 可以通过比较系数得到:
A = 2 F(-1), B = - F(-1)
将 Y(z) 进行反 Z 变换,得到 y(k) 的表达式:
y(k) = 2 f(k-1) - f(k-2)
因此,差分方程的稳态响应为 0,即 y(k) 的长期趋势为平稳。
相关问题
y(k)+1/2y(k-1)=f(k)的稳态响应,f(k)=2cos(kΠ/3)
首先,我们可以将差分方程转换为传递函数形式,得到:
H(z) = Y(z) / F(z) = 1 / (1/2z^-1)
然后,我们可以计算传递函数的幅频特性:
|H(jω)| = 1 / |1/2e^(-jω)| = 2
因此,稳态响应为2cos(kΠ/3)的幅值为2。也就是说,稳态响应是输入信号的幅值的倍数,不会改变输入信号的频率。
已知某因果稳定系统的差分方程 y(n)-0.75*y(n-1)+0.125*y(n-2)=4*x(n)+3*x(n-1) 求激励x(n)=10*ε(n)的稳态输出响应y(n)
根据差分方程可得:
y(n)-0.75*y(n-1)+0.125*y(n-2)=4*x(n)+3*x(n-1)
将激励x(n)=10*ε(n)代入,则有:
y(n)-0.75*y(n-1)+0.125*y(n-2)=40*ε(n)+30*ε(n-1)
为了求解稳态输出响应y(n),我们需要先求解该系统的传递函数。对差分方程进行z变换,可得:
Y(z)-0.75z^-1*Y(z)+0.125z^-2*Y(z) = 4X(z)+3z^-1*X(z)
将X(z)替换为10*ε(z),可得:
Y(z)-0.75z^-1*Y(z)+0.125z^-2*Y(z) = 40ε(z)+30z^-1*ε(z)
进一步整理可得:
Y(z) = (40+30z^-1)/(1-0.75z^-1+0.125z^-2) * ε(z)
将传递函数表示成极点-零点形式,可得:
Y(z) = (40+30z^-1)/(1-0.5z^-1)(1-0.25z^-1) * ε(z)
该系统的极点为z=0.5和z=0.25,均在单位圆内,因此该系统是稳定的。
根据稳态输出响应的定义,我们可以将输入信号看作是一个随机序列,求解其稳态均值和方差。由于输入信号是符合标准正态分布的随机序列,因此其均值为0,方差为1。
根据传递函数可以得到稳态输出响应的均值和方差:
E(y(n)) = E((40+30z^-1)/(1-0.5z^-1)(1-0.25z^-1) * ε(n)) = 0
Var(y(n)) = Var((40+30z^-1)/(1-0.5z^-1)(1-0.25z^-1) * ε(n)) = 4900
因此,稳态输出响应y(n)的均值为0,方差为4900,即:
y(n) ~ N(0, 4900)
其中,N(0, 4900)表示均值为0,方差为4900的正态分布。
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