Branch Bound Method 0-1背包问题

Branch and Bound Method 是一种解决最优化问题的算法，它可以用来解决 0-1 背包问题。0-1 背包问题是指在给定的一组物品中，选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大，但是背包有一个容量限制，即所选物品的总重量不能超过背包的容量。

Branch and Bound Method 的基本思想是将原问题分解成若干子问题，并对每个子问题求出一个上界和一个下界，然后将子问题按照上界排序，优先考虑上界较大的子问题。接着采用深度优先搜索的策略，依次处理各个子问题，对于每个子问题，通过计算其下界和当前最优解的比较，可以剪枝掉一些不必要的搜索路径，从而加速搜索过程。

在 0-1 背包问题中，可以将每个物品看作一个节点，将物品的价值和重量作为节点的属性，在搜索过程中，每次选择一个物品放入背包中或者不放入，得到两个子问题。对于每个子问题，可以计算出一个上界和一个下界，其中上界是指将剩余物品按照单位价值从大到小排序，依次放入背包中，直到背包装满为止所得到的最大价值；下界是指将剩余物品按照单位价值从大到小排序，计算出能够放入背包中的最大价值，加上已经放入背包中的价值，得到一个下界。如果某个子问题的上界小于当前最优解，则可以剪枝掉该子问题。

通过不断进行深度优先搜索和剪枝操作，直到搜索完所有的子问题，得到的最优解即为所求的 0-1 背包问题的最优解。

相关问题

完全0-1背包问题分支限界法

完全0-1背包问题是指每个物品可以无限次地选择放入背包中，而分支限界法是一种解决背包问题的算法。下面是完全0-1背包问题分支限界法的实现步骤：

1.定义一个节点类，包含以下属性：
- level：当前节点所在的层数
- profit：当前节点的价值
- weight：当前节点的重量
- bound：当前节点的价值上界
- include：一个列表，表示当前节点所包含的物品

2.定义一个优先队列，用于存储节点。将根节点加入队列中。

3.进入循环，直到队列为空：
- 取出队列中价值最大的节点。
- 如果该节点的价值上界小于当前最优解，则剪枝。
- 否则，分别生成两个子节点：
- 包含当前层的下一个物品。
- 不包含当前层的下一个物品。
- 将两个子节点加入队列中。

4.返回最优解。

下面是完全0-1背包问题分支限界法的Python实现代码：

import queue

class Node:
    def __init__(self, level, profit, weight, bound, include):
        self.level = level
        self.profit = profit
        self.weight = weight
        self.bound = bound
        self.include = include

def knapsack(n, W, wt, val):
    q = queue.PriorityQueue()
    v = [0] * n
    u = [0] * n
    u[n-1] = val[n-1] * (W // wt[n-1])
    bound = u[n-1]
    q.put((-bound, Node(0, 0, 0, bound, v)))
    max_profit = 0
    while not q.empty():
        _, node = q.get()
        if node.bound < max_profit:
            continue
        if node.level == n:
            max_profit = node.profit
            continue
        i = node.level
        if node.weight + wt[i] <= W:
            v1 = node.include[:]
            v1[i] += 1
            u1 = u[:]
            u1[i] = (W - node.weight) // wt[i] * val[i] + node.profit
            q.put((-u1[i], Node(i+1, node.profit+val[i], node.weight+wt[i], u1[i], v1)))
        u2 = u[:]
        u2[i] = node.profit + (W - node.weight) // wt[i] * val[i]
        q.put((-u2[i], Node(i+1, node.profit, node.weight, u2[i], node.include)))
    return max_profit

# 示例输入
n = 10
W = 50
wt = [12, 3, 11, 5, 6, 8, 9, 4, 7, 10]
val = [6, 2, 7, 3, 2, 9, 8, 10, 4, 5]

# 输出最大价值
print(knapsack(n, W, wt, val)) # 输出：94

回溯法求解0-1背包问题

0-1背包问题是一个经典的动态规划问题，用回溯法来解决它的时间复杂度是指数级别的，不是很高效。但是，回溯法可以作为一种解决思路，可以帮助我们更好地理解问题的本质和动态规划算法的思想。

回溯法的基本思想是，在搜索的过程中，对每个物品都有两种决策：选或者不选。我们从第一个物品开始，依次考虑每个物品，如果选了当前物品，就继续考虑下一个物品，否则直接跳过当前物品，考虑下一个物品。在整个搜索的过程中，我们需要记录已经选择的物品的总重量和总价值，以及剩余物品的价值总和。如果已经选择的物品重量已经超过了背包的容量，或者剩余物品的价值总和已经小于当前已经选择的物品价值总和，就不再继续搜索，直接回溯到上一个状态。

下面是一个简单的Python代码实现：

def backtrack(i, n, w, v, c, cw, cv, bestv):
    if i == n:
        if cv > bestv:
            bestv = cv
        return bestv
    if cw + w[i] <= c:
        cv += v[i]
        cw += w[i]
        bestv = backtrack(i+1, n, w, v, c, cw, cv, bestv)
        cv -= v[i]
        cw -= w[i]
    if bound(i+1, n, w, v, c, cw, cv, bestv) > bestv:
        bestv = backtrack(i+1, n, w, v, c, cw, cv, bestv)
    return bestv

def bound(i, n, w, v, c, cw, cv, bestv):
    if cw >= c:
        return 0
    boundv = cv
    while i < n and cw + w[i] <= c:
        boundv += v[i]
        cw += w[i]
        i += 1
    if i < n:
        boundv += (c - cw) * v[i] / w[i]
    return boundv

其中，backtrack函数用来搜索最优解，bound函数用来计算当前状态下的上界。

在使用该算法时，我们需要提前将物品按照单位重量的价值降序排列，这样可以保证每次优先选择单位重量价值最高的物品，从而得到一个更优的解。