由数学归纳法证明一个由$n$个电阻串联而成的电路的总电阻为$R_n = R_{n-1} + r_n$
时间: 2023-08-31 16:34:12 浏览: 78
### 回答1:
答:根据数学归纳法,当$n=1$时,电路的总电阻$R_1 = r_1$;假设当$n=k$时,电路的总电阻$R_k = R_{k-1} r_k$,那么当$n=k+1$时,电路的总电阻$R_{k+1} = R_k r_{k+1} = R_{k-1} r_k r_{k+1} = R_{k-1} r_{k+1}$,故由数学归纳法可得,一个由$n$个电阻串联而成的电路的总电阻为$R_n = R_{n-1} r_n$。
### 回答2:
设$n=1$时,$R_1 = R_0 \cdot r_1$,
显然成立。
假设对于$n=k$成立:
$R_k = R_{k-1} \cdot r_k$
当$n=k+1$时,
$R_{k+1} = R_k \cdot r_{k+1}$
带入假设,
$R_{k+1} = R_{k-1} \cdot r_k \cdot r_{k+1}$
因此,
由数学归纳法可证明当$n$个电阻串联时,总电阻$R_n = R_{n-1} \cdot r_n$。
### 回答3:
数学归纳法是一种数学推理方法,用来证明一个命题对于所有自然数$n$成立。下面我将用数学归纳法来证明一个由$n$个电阻串联而成的电路的总电阻为$R_n = R_{n-1} \cdot r_n$。
首先,当$n=1$时,电路中只有一个电阻,它的电阻值就是$R_1$。显然,$R_1=R_1$,命题成立。
假设当$n=k$时,命题成立,即一个由$k$个电阻串联而成的电路的总电阻为$R_k = R_{k-1} \cdot r_k$。现在我们来证明当$n=k+1$时,命题也成立。
当$n=k+1$时,电路中有$k+1$个电阻。我们可以将这$k+1$个电阻分为两部分:前面$k$个电阻和最后一个电阻。根据假设的命题,前$k$个电阻的总电阻为$R_k$,即$R_k=R_{k-1} \cdot r_k$。而最后一个电阻的电阻值为$r_{k+1}$。
将整个电路分成前面$k$个电阻和最后一个电阻后,整个电路的总电阻可以表示为$R_{k+1}=R_k \cdot r_{k+1}$。由于我们已经假设当$n=k$时命题成立,所以$R_k = R_{k-1} \cdot r_k$。将这个等式代入前面的等式中,可以得到$R_{k+1}=(R_{k-1} \cdot r_k) \cdot r_{k+1}$,即$R_{k+1}=R_{k-1} \cdot r_k \cdot r_{k+1}$。
综上所述,我们通过数学归纳法可以证明一个由$n$个电阻串联而成的电路的总电阻为$R_n = R_{n-1} \cdot r_n$。