用强数学归纳法证明1/(1*2)+ 1/(2*3)+ 1/(3*4)+…+1/(n(n+1))=1-1/(n+1)
时间: 2023-11-05 13:05:03 浏览: 34
首先我们需要证明当 $n=1$ 时等式成立,即:
$$\frac{1}{1\cdot2} = 1 - \frac{1}{1+1}$$
将左边的分数进行化简,我们有:
$$\frac{1}{1\cdot2} = \frac{1}{2}$$
将右边的分数进行化简,我们有:
$$1 - \frac{1}{1+1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$
因此,当 $n=1$ 时等式成立。
接下来,我们需要证明当 $n=k$ 时等式成立时,$n=k+1$ 时等式也成立。
假设当 $n=k$ 时等式成立,即:
$$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{k+1}$$
现在我们需要证明当 $n=k+1$ 时等式也成立,即:
$$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=1-\frac{1}{k+2}$$
我们将左边的式子进行化简:
$$\begin{aligned} &\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)} \\ =& 1-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)} \\ =& 1 - \frac{k+2}{(k+1)(k+2)} \\ =& 1 - \frac{1}{k+2} \end{aligned}$$
因此,当 $n=k+1$ 时等式也成立。
综上所述,由数学归纳法可知,对于正整数 $n$,都有:
$$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}$$