输入关键字序列(16,3,7,11,9,26,18,14,15),给出构造一棵平衡二叉树的过程。要求每插入一个结点都输出该树的括号表示法,以及各结点的平衡因子,如果失去平衡,则给出属于哪一种类型调整,及调整后的情况(输出括号表示法)。最后再删除指定结点后,恢复平衡,再输出平衡二叉树的情况。

时间: 2023-11-26 22:02:41 浏览: 52
首先,我们按照输入序列构造一棵二叉排序树: ``` 16 / \ 3 26 / \ 18 - / \ 14 15 / \ 11 - / \ 7 9 ``` 这棵二叉排序树并不是一棵平衡二叉树,接下来我们需要对其进行调整,使之成为一棵平衡二叉树。 首先,我们需要计算每个结点的平衡因子。对于任意一个结点,它的平衡因子等于其左子树的高度减去右子树的高度。对于平衡二叉树,任意节点的平衡因子必须满足 $-1 \leqslant \text{平衡因子} \leqslant 1$,否则该节点所在的子树就不平衡。 ``` 16(+2) / \ 3(-1) 26(-1) / \ 18(0) - / \ 14(0) 15(-1) / \ 11(-1)- / \ 7(0) 9(0) ``` 我们可以发现,节点16、3、26、18和15的平衡因子不符合要求,它们所在的子树不平衡。接下来,我们需要对这些不平衡的子树进行调整。 首先考虑节点16所在的子树,我们可以发现,其右子树的高度大于左子树的高度,因此需要进行左旋操作。左旋操作的目的是将右子树中较低的节点提升为根节点,同时将原来的根节点降为左子树的节点。执行左旋操作后,节点16的平衡因子变为0,节点3的平衡因子变为1。 ``` 3(0) / \ 16(0) 26(-1) / \ 14 15 / \ 7 9 ``` 接下来,考虑节点3所在的子树,我们可以发现,其左子树的高度大于右子树的高度,因此需要进行右旋操作。右旋操作的目的是将左子树中较高的节点提升为根节点,同时将原来的根节点降为右子树的节点。执行右旋操作后,整棵树变为: ``` 14(0) / \ 3(0) 16(0) / \ / \ 7 9 15 26(-1) / \ 18(0) - ``` 可以发现,整棵树已经成为了一棵平衡二叉树。 接下来,我们需要删除指定的节点,恢复平衡。假设我们要删除节点18,删除后的树为: ``` 14(0) / \ 3(0) 16(0) / \ / \ 7 9 15 26(-2) \ 19(0) ``` 我们可以发现,节点26的平衡因子为-2,不符合要求,因此需要进行调整。由于节点26的右子树的平衡因子为-1,因此需要进行左旋操作。左旋操作后,节点26的平衡因子变为0,节点16的平衡因子变为-1。 ``` 14(0) / \ 3(0) 16(-1) / \ / \ 7 9 15 26(0) \ 19(0) ``` 接下来,考虑节点16所在的子树,我们可以发现,其右子树的平衡因子为0,不需要进行调整。整棵树已经恢复平衡。 最终平衡二叉树的结构为: ``` 14(0) / \ 3(0) 16(-1) / \ / \ 7 9 15 26(0) \ 19(0) ```

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