木棍切割问题:为下列问题设计一个动态规划算法。已知小木棍的销售价格pi和长度i相关,i=1,2,…,n,如何把长度为n的木棍切割为若干根长度为整数的小木棍,使得所能获得的总销售价格最大?该算法的时间效率和空间效率各是多少?
时间: 2024-03-18 18:41:56 浏览: 12
这是一道经典的动态规划问题,可以使用自底向上的方法,构建一个数组dp,其中dp[i]表示长度为i的木棍所能获得的最大销售价格。状态转移方程为:
dp[i] = max(dp[i], p[j] + dp[i-j])
其中p[j]表示长度为j的小木棍的销售价格。这个方程的意思是,当我们把长度为i的木棍切割成长度为j和i-j的两段时,可以获得p[j]的销售价格,而剩下的长度为i-j的木棍可以继续切割或者不切割,所能获得的最大销售价格为dp[i-j]。我们需要枚举所有可能的j,取其中的最大值作为dp[i]的值。
初始状态为dp[0] = 0,表示长度为0的木棍没有销售价格。最终的答案为dp[n],即长度为n的木棍所能获得的最大销售价格。
算法的时间复杂度为O(n^2),空间复杂度为O(n)。具体实现可以参考下面的Python代码:
```
def cutting_stick(n, prices):
# 初始化dp数组
dp = [0] * (n + 1)
# 自底向上计算dp数组
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, i + 1):
dp[i] = max(dp[i], prices[j - 1] + dp[i - j])
# 返回长度为n的木棍所能获得的最大销售价格
return dp[n]
```
其中n是木棍的长度,prices是一个长度为n的列表,表示每个长度对应的销售价格。
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率是多少?
动态规划算法的设计如下:
1. 定义状态:设f(i)表示长度为i的木棍所能获得的最大销售价格。
2. 状态转移方程:对于长度为i的木棍,可以选择不切割,即f(i)=p(i),也可以选择切割成若干根小木棍,假设切割点为j,则f(i)=max{f(j)+f(i-j)},其中j的取值范围为1<=j<=i-1。
3. 初始状态:f()=。
4. 最终状态:f(n)即为所求的最大销售价格。
该算法的时间复杂度为O(n^2),因为需要计算n个状态,每个状态需要O(n)的时间来计算。
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该题目设计一个动态规划算法。已知小木棍的销售价格p_i和长度i,i=1,2,...,n,如何把长度为n的木棍切割为若干根长度为整数的小木棍,使得所能获得的总售价格最大?该算法的时间效率和空间效率是多少?