设总体X的k阶矩μk= E[Xk]存在, X1,X2,`````Xn为来自总体X的 i.i.d.样本。 (1)请给出μk的一个无偏估计; (2)试写出第一问中无偏估计的方差。
时间: 2024-05-10 18:17:18 浏览: 28
(1)根据样本均值的定义,总体的k阶矩μk可以用样本的k阶原点矩来估计,即:
$\hat{\mu}_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k$
这是μk的一个无偏估计。
(2)根据方差的定义,有:
$Var(\hat{\mu}_k) = \frac{1}{n^2} Var(\sum_{i=1}^n X_i^k)$
由于样本X1,X2,`````Xn是独立同分布的,所以有:
$Var(\sum_{i=1}^n X_i^k) = \sum_{i=1}^n Var(X_i^k) = n Var(X_1^k)$
进一步地,由于X1,X2,`````Xn是来自同一个总体,所以有:
$Var(X_1^k) = E[(X_1^k - \mu_k)^2]$
代入得:
$Var(\hat{\mu}_k) = \frac{1}{n} \frac{E[(X_1^k - \mu_k)^2]}{n}$
因此,无偏估计$\hat{\mu}_k$的方差为$\frac{1}{n} \frac{E[(X_1^k - \mu_k)^2]}{n}$。
相关问题
设X=[x1,x2...xN]为来自总体N(μ,)的样本集,求μ的最大似然估计
根据样本集的定义,我们可以得到样本均值为:
$$\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$
总体均值为μ,根据最大似然估计的原理,我们要找到一个μ,使得样本集X出现的概率最大,即似然函数最大。
样本集X的似然函数为:
$$L(\mu)=\prod_{i=1}^{N} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}exp(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2})$$
对似然函数求导,令导数为0,可以得到似然函数的最大值点:
$$\frac{dL(\mu)}{d\mu}=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\sum_{i=1}^{N} (x_i-\mu)exp(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2})=0$$
整理后得到:
$$\sum_{i=1}^{N} (x_i-\mu)exp(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2})=0$$
这个方程很难直接求解,一般需要使用数值方法来求解。但是根据中心极限定理,当N充分大时,样本均值的分布趋近于正态分布,因此样本均值的最大似然估计为:
$$\hat{\mu}=\overline{x}$$
即样本均值为总体均值的最大似然估计。
标准正态分布的k阶矩
标准正态分布的k阶矩是指随机变量服从标准正态分布的k次幂的期望值。对于标准正态分布的随机变量X,其概率密度函数为φ(x) = (1/√(2π)) * e^(-x^2/2)。
第k阶矩μ_k为E[X^k],即随机变量X的k次幂的期望值。
前几个阶矩如下所示:
- 第一阶矩μ_1 = E[X],即X的期望值,由于标准正态分布的期望为0,所以μ_1 = 0;
- 第二阶矩μ_2 = E[X^2],即X的平方的期望值;
- 第三阶矩μ_3 = E[X^3],即X的立方的期望值;
- 第四阶矩μ_4 = E[X^4],即X的四次方的期望值。
对于标准正态分布,由于其对称性,奇数阶矩μ_3及以上都为0。因此,标准正态分布的k阶矩可以简化为:
- μ_1 = 0;
- μ_2 = E[X^2],即方差σ^2;
- μ_3 = 0;
- μ_4 = E[X^4],即峰度。
标准正态分布的方差σ^2=μ_2表示了随机变量X离其期望值之间的离散程度。而峰度μ_4则反映了随机变量X分布的尖峰程度,正态分布的峰度为3。
对于其他阶矩,由于标准正态分布的对称性,偶数阶矩都和方差有关,而奇数阶矩都为0。因此,标准正态分布的k阶矩可以表示为:
- 当k为偶数时,μ_k = (k-1)!! * σ^k,其中(k-1)!!表示(k-1)的双阶乘;
- 当k为奇数时,μ_k = 0。
总结:标准正态分布的k阶矩对于奇数阶都为0,方差为μ_2=σ^2,峰度为μ_4=3。偶数阶矩可以通过方差进行计算。