假设样本X1，X2...Xn是来自正态总体N(μ，σ^2）的一个样本S^2为样本方差，求样本容量的最小值，使满足概率不等式：P(s^2 / σ^2 <= 1.5) >= 0.95

根据样本方差的分布特性，有：(n-1)S^2 / σ^2 ~ χ^2(n-1)，其中 χ^2(n-1) 表示自由度为 n-1 的卡方分布。

则题目中的概率不等式可以转化为：P((n-1)S^2 / σ^2 <= (n-1)×1.5) >= 0.95

根据卡方分布的性质，可以查表得到 χ^2(n-1)分布下，使得 P((n-1)S^2 / σ^2 <= (n-1)×1.5) >= 0.95 的值为 0.95。

即 χ^2(n-1)的右侧面积为 0.05，对应的临界值为 21.920。

代入原式得到：(n-1)S^2 / σ^2 <= 21.920

由于在正态总体下，(n-1)S^2 / σ^2 服从自由度为 n-1 的卡方分布，因此可以查表得到使得该不等式成立的 n 的最小值为 20。

因此，样本容量的最小值为 n = 21。

相关问题

设X=[x1,x2...xN]为来自总体N(μ，)的样本集，求μ的最大似然估计

根据样本集的定义，我们可以得到样本均值为：

$$\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

总体均值为μ，根据最大似然估计的原理，我们要找到一个μ，使得样本集X出现的概率最大，即似然函数最大。

样本集X的似然函数为：

$$L(\mu)=\prod_{i=1}^{N} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}exp(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2})$$

对似然函数求导，令导数为0，可以得到似然函数的最大值点：

$$\frac{dL(\mu)}{d\mu}=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\sum_{i=1}^{N} (x_i-\mu)exp(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2})=0$$

整理后得到：

$$\sum_{i=1}^{N} (x_i-\mu)exp(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2})=0$$

这个方程很难直接求解，一般需要使用数值方法来求解。但是根据中心极限定理，当N充分大时，样本均值的分布趋近于正态分布，因此样本均值的最大似然估计为：

$$\hat{\mu}=\overline{x}$$

即样本均值为总体均值的最大似然估计。

设X1,X2,...,Xn是来自总体X~N(0,1)的一个样本，设Y=a(X1+X2+X3)^2服从X^2分布，则常数a等于多少

根据题意，$Y=a(X_1+X_2+X_3)^2 \sim \chi^2(1)$，且$X_i \sim N(0,1)$独立同分布。所以，$X_1+X_2+X_3 \sim N(0,3)$。因此，$(X_1+X_2+X_3)^2 \sim \chi^2(1,3)$，即自由度为3的卡方分布。

由于$\chi^2(1)$可以表示为标准正态分布的平方，即$\chi^2(1)=N^2(0,1)$，所以$\chi^2(1,3)=(N(0,1))^2+(N(0,1))^2+(N(0,1))^2 \sim \chi^2(3)$。因此，$a=\frac{1}{3}$。

因此，$Y=\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)^2 \sim \chi^2(1)$。