设 (X1 ,X2 ,··· ,Xn ) 是取自正态总体 E (λ) 的一个样本，则样本 (X1 ,X2 ,··· ,Xn ) 的联合概 率密度函数 =

根据正态总体 E(λ) 的定义，我们可以知道每个样本 $X_i$ 的概率密度函数为：

$f(x_i;\lambda) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x_i-\lambda)^2}{2\sigma^2}\right)$

其中，$\sigma$ 是总体的标准差。因为每个样本之间是独立同分布的，所以样本的联合概率密度函数为：

$f(x_1,x_2,\dots,x_n;\lambda) = \prod_{i=1}^n f(x_i;\lambda) = \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^\frac{n}{2}}\exp\left(-\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\lambda)^2}{2\sigma^2}\right)$

因此，样本的联合概率密度函数为一个多元正态分布。

相关问题

X1，X2来自正态总体N（1，25）的样本，则X1-X2，X1+X2分别服从什么，怎么看

X1-X2和X1+X2分别服从正态分布N(0,50)和N(2,50)。这是因为两个独立的正态分布变量的和或差仍然服从正态分布，其均值为各自均值之和或差，方差为各自方差之和。在这个问题中，X1和X2都来自均值为1，方差为25的正态分布，因此X1-X2和X1+X2分别服从均值为0和2，方差为50的正态分布。

用MATLAB解决设总体 X 服从标准正态分布，X1, X2, … , Xn是简单随 机样本，分别从密度函数曲线和矩关系上验证统计 量X1 2 + X2 2的分布形式

在MATLAB中，我们可以利用内置的统计函数来处理这个问题。首先，我们需要了解X1^2 + X2^2的分布是Chi-squared分布，其自由度取决于样本的数量。以下是验证过程：

1. **密度函数曲线验证**：

   % 定义自由度n
   n = 2; % 比如这里是n=2，表示有两个样本

   % 生成大量的标准正态随机样本
   X = randn(1e5, n); % 例如，取10万次独立的标准正态抽样

   % 对样本平方求和
   sum_squares = sum(X .^ 2, 2); % 沿着列求和，每个样本的X1^2和X2^2相加

   % 创建 Chi-squared 分布的理论密度函数
   [x, pdf_chisq] = chi2pdf(sum_squares, n);

   % 绘制理论密度函数和样本频率直方图
   histogram(sum_squares, 'Normalization', 'pdf');
   hold on;
   plot(x, pdf_chisq, '-r'); % 红色线代表Chi-squared分布的理论曲线
   legend({'Sample Histogram', 'Chi-squared PDF'});
   hold off;

2. **矩关系验证**：

Chi-squared 分布的k阶原点矩等于自由度k，即 M_k = k。我们可以直接计算样本总和的k阶矩，并与理论值比较：

   % 计算样本的第2阶原点矩（即方差）
   sample_moment_2 = mean(sum_squares.^2);

   % 理论的第2阶原点矩
   theoretical_moment_2 = n;

   disp(['Sample moment 2: ', num2str(sample_moment_2)]);
   disp(['Theoretical moment 2: ', num2str(theoretical_moment_2)]);

如果两者接近，说明样本统计量的分布形式接近于期望的Chi-squared分布。