设X1,X2,...,Xn是来自总体X~N(0,1)的一个样本，设Y=a(X1+X2+X3)^2服从X^2分布，则常数a等于多少

根据题意，$Y=a(X_1+X_2+X_3)^2 \sim \chi^2(1)$，且$X_i \sim N(0,1)$独立同分布。所以，$X_1+X_2+X_3 \sim N(0,3)$。因此，$(X_1+X_2+X_3)^2 \sim \chi^2(1,3)$，即自由度为3的卡方分布。

由于$\chi^2(1)$可以表示为标准正态分布的平方，即$\chi^2(1)=N^2(0,1)$，所以$\chi^2(1,3)=(N(0,1))^2+(N(0,1))^2+(N(0,1))^2 \sim \chi^2(3)$。因此，$a=\frac{1}{3}$。

因此，$Y=\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)^2 \sim \chi^2(1)$。

相关问题

设X=[x1,x2...xN]为来自总体N(μ，)的样本集，求μ的最大似然估计

根据样本集的定义，我们可以得到样本均值为：

$$\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

总体均值为μ，根据最大似然估计的原理，我们要找到一个μ，使得样本集X出现的概率最大，即似然函数最大。

样本集X的似然函数为：

$$L(\mu)=\prod_{i=1}^{N} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}exp(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2})$$

对似然函数求导，令导数为0，可以得到似然函数的最大值点：

$$\frac{dL(\mu)}{d\mu}=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\sum_{i=1}^{N} (x_i-\mu)exp(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2})=0$$

整理后得到：

$$\sum_{i=1}^{N} (x_i-\mu)exp(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2})=0$$

这个方程很难直接求解，一般需要使用数值方法来求解。但是根据中心极限定理，当N充分大时，样本均值的分布趋近于正态分布，因此样本均值的最大似然估计为：

$$\hat{\mu}=\overline{x}$$

即样本均值为总体均值的最大似然估计。

设X1,X2,···,Xn是来自总体X∼U[0,θ]的一个简单随机样本， 记Y=���{X1,X2,···,Xn}。证明： P � α 1 n<Y θ⩽1 � =1−α 并利用这个结论给出θ的1−α水平置信区间估计。

首先，我们可以将问题转化为求解Y的概率分布函数。由于样本来自总体X∼U[0,θ]，所以每个样本的概率密度函数为f(x)=1/θ，其中0<=x<=θ。因为样本是简单随机样本，所以每个样本都是独立的，所以Y的概率密度函数为：

f(y)=n(1/θ)^n*y^(n-1)

要求P(α/2<Yθ<1-α/2)，即求Yθ的置信区间。根据题意，我们需要找到两个常数L和U，使得P(Yθ>L)=α/2和P(Yθ<U)=1-α/2。

对于P(Yθ>L)=α/2，有：

∫L^θn(1/θ)^n*y^(n-1)dy=α/2

解得L=Y(1-α/2)。

同理，对于P(Yθ<U)=1-α/2，有：

∫θ^Un(1/θ)^n*y^(n-1)dy=α/2

解得U=Y(α/2)。

因此，θ的1-α水平置信区间为(Y(1-α/2), Y(α/2))，证毕。