设 (X1, X2, · · · , Xn) 是来自总体U(−2, 2)的一个样本，则n 1 P n i=1 Xi 2依概率收敛于3 4 .

这是一个关于大数定律的问题。根据大数定律，当样本容量趋于无穷大时，样本均值将以概率1收敛于总体均值。那么对于这个问题，我们可以先求出样本的均值和方差：

样本均值：E(Xi) = (−2 + 2)/2 = 0

样本方差：Var(Xi) = [(2 − (−2))^2]/12 = 4/3

然后，根据切比雪夫不等式，我们可以得到：

P(|n^-1 Σ Xi^2 − 3/4| ≥ ε) ≤ Var(n^-1 Σ Xi^2) / ε^2

由于Var(n^-1 Σ Xi^2) = n^-2 Var(Σ Xi^2)，而Σ Xi^2 是来自总体 U(0, 8) 的随机变量，因此有 Var(Σ Xi^2) = E[(Σ Xi^2)^2] − [E(Σ Xi^2)]^2 = 32n^2/45 - (8/3)^2 = 32n^2/45 - 64/9。

因此，我们有：

P(|n^-1 Σ Xi^2 − 3/4| ≥ ε) ≤ (32n^2/45 - 64/9) / n^2 ε^2

当 n 趋于无穷大时，上式右侧趋于0，因此左侧也趋于0。这意味着，n^-1 Σ Xi^2 以概率1收敛于3/4，即：

P(n^-1 Σ Xi^2 → 3/4) = 1

因此，原命题成立。

相关问题

设X1,X2,...,Xn是来自总体X~N(0,1)的一个样本，设Y=a(X1+X2+X3)^2服从X^2分布，则常数a等于多少

根据题意，$Y=a(X_1+X_2+X_3)^2 \sim \chi^2(1)$，且$X_i \sim N(0,1)$独立同分布。所以，$X_1+X_2+X_3 \sim N(0,3)$。因此，$(X_1+X_2+X_3)^2 \sim \chi^2(1,3)$，即自由度为3的卡方分布。

由于$\chi^2(1)$可以表示为标准正态分布的平方，即$\chi^2(1)=N^2(0,1)$，所以$\chi^2(1,3)=(N(0,1))^2+(N(0,1))^2+(N(0,1))^2 \sim \chi^2(3)$。因此，$a=\frac{1}{3}$。

因此，$Y=\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)^2 \sim \chi^2(1)$。

设X=[x1,x2...xN]为来自总体N(μ，)的样本集，求μ的最大似然估计

根据样本集的定义，我们可以得到样本均值为：

$$\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

总体均值为μ，根据最大似然估计的原理，我们要找到一个μ，使得样本集X出现的概率最大，即似然函数最大。

样本集X的似然函数为：

$$L(\mu)=\prod_{i=1}^{N} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}exp(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2})$$

对似然函数求导，令导数为0，可以得到似然函数的最大值点：

$$\frac{dL(\mu)}{d\mu}=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\sum_{i=1}^{N} (x_i-\mu)exp(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2})=0$$

整理后得到：

$$\sum_{i=1}^{N} (x_i-\mu)exp(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2})=0$$

这个方程很难直接求解，一般需要使用数值方法来求解。但是根据中心极限定理，当N充分大时，样本均值的分布趋近于正态分布，因此样本均值的最大似然估计为：

$$\hat{\mu}=\overline{x}$$

即样本均值为总体均值的最大似然估计。