2：设 X1,X2,⋯,Xn 是来自于U[0，1]的样本，求 E( X) 和 Var(X)

由于 $X_i \sim U[0,1]$，则 $E(X_i) = \frac{1}{2}$，$Var(X_i) = \frac{1}{12}$。

因为样本是独立同分布的，所以有：

$$
\begin{aligned}
E(\overline{X}) &= E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) \\
&= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE(X_i) \\
&= \frac{1}{n}\cdot n\cdot\frac{1}{2} \\
&= \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
Var(\overline{X}) &= Var\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) \\
&= \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^nVar(X_i) \\
&= \frac{1}{n^2}\cdot n\cdot \frac{1}{12} \\
&= \frac{1}{12n}
\end{aligned}
$$

所以，$E(X) = \frac{1}{2}$，$Var(X) = \frac{1}{12}$，$E(\overline{X}) = \frac{1}{2}$，$Var(\overline{X}) = \frac{1}{12n}$。

相关问题

设X=[x1,x2...xN]为来自总体N(μ，)的样本集，求μ的最大似然估计

根据样本集的定义，我们可以得到样本均值为：

$$\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

总体均值为μ，根据最大似然估计的原理，我们要找到一个μ，使得样本集X出现的概率最大，即似然函数最大。

样本集X的似然函数为：

$$L(\mu)=\prod_{i=1}^{N} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}exp(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2})$$

对似然函数求导，令导数为0，可以得到似然函数的最大值点：

$$\frac{dL(\mu)}{d\mu}=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\sum_{i=1}^{N} (x_i-\mu)exp(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2})=0$$

整理后得到：

$$\sum_{i=1}^{N} (x_i-\mu)exp(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2})=0$$

这个方程很难直接求解，一般需要使用数值方法来求解。但是根据中心极限定理，当N充分大时，样本均值的分布趋近于正态分布，因此样本均值的最大似然估计为：

$$\hat{\mu}=\overline{x}$$

即样本均值为总体均值的最大似然估计。

设x1,x2,……xn是来自如下密度函数的一个样本：p(x;a)=e^-(x-a),x>=a,0,x<a,证明n(x(1)-a)是枢轴量，x(1)是样本x1,x2,……xn的最小次序统计量

首先，我们可以通过求解样本的累积分布函数（CDF）来得到样本的最小次序统计量。对于密度函数p(x;a)=e^-(x-a)，其CDF为F(x;a)=1-e^-(x-a)，因此样本的最小次序统计量为x(1)=min(x1,x2,...,xn)的概率密度函数为：

f(x(1);a) = n * p(x(1);a) * [1-F(x(1);a)]^(n-1)

其中，n是样本数量。为了证明n(x(1)-a)是枢轴量，我们需要证明f(x(1);a)与x(1)独立，即f(x(1);a)在x(1)取任意值时都相等。

对于任意的x(1)，有：

f(x(1);a) = n * p(x(1);a) * [1-F(x(1);a)]^(n-1)

将p(x(1);a)代入，得到：

f(x(1);a) = n * e^-(x(1)-a) * [1-e^-(x(1)-a)]^(n-1)

我们可以将该式进一步化简为：

f(x(1);a) = n * e^-(x(1)-a) * e^-(n-1)(x(1)-a)

f(x(1);a) = n * e^-(nx(1)-na)

可以看出，f(x(1);a)仅与nx(1)-na有关，与x(1)无关。因此，我们可以得出结论：n(x(1)-a)是枢轴量，x(1)是样本x1,x2,……xn的最小次序统计量。