设f(x)=3/2 x_1^2+1/2 x_2^2-x_1 x_2-2x_1,设初始点x^0=(-2,4)^T,试求用牛顿法极小化 f(x )
时间: 2023-10-24 19:04:37 浏览: 53
好的,关于您的问题,我来给您讲一下牛顿法极小化函数的步骤。
首先,我们需要求出函数 f(x) 的 Hessian 矩阵,记为 H,由于 f(x) 已经是二次函数,所以 H 就是 f(x) 的二阶导数矩阵。计算 Hessian 矩阵为:
H = [[3 -1],[-1 1]]
接下来,我们需要选择一个初始点 x^0,您已经给出了,就是 x^0 = (-2,4)^T。
然后,我们可以通过以下公式来迭代求解新的点 x^(k+1):
x^(k+1) = x^k - (H^(-1) * ∇f(x^k))
其中,H^(-1) 表示 Hessian 矩阵的逆矩阵,∇f(x^k) 表示 f(x^k) 的梯度向量。
根据初始点 x^0 和上述公式,我们可以得到如下的迭代过程:
x^1 = x^0 - (H^(-1) * ∇f(x^0))
x^2 = x^1 - (H^(-1) * ∇f(x^1))
...
x^(k+1) = x^k - (H^(-1) * ∇f(x^k))
其中,k 表示迭代次数。
现在,我们来具体操作一下,求解这个函数的极小值:
首先,计算初始点 x^0 的梯度向量:
∇f(x^0) = [∂f/∂x1, ∂f/∂x2]^T = [-11, 7]^T
然后,计算 Hessian 矩阵的逆矩阵:
H^(-1) = [[1/4 1/4],[1/4 3/4]]
接下来,代入公式,进行迭代计算:
x^1 = [-2, 4]^T - [[1/4 1/4],[1/4 3/4]] * [-11, 7]^T = [-3.25, 2.75]^T
x^2 = [-3.25, 2.75]^T - [[1/4 1/4],[1/4 3/4]] * [-12.75, 5.25]^T = [-3.5, 2.5]^T
x^3 = [-3.5, 2.5]^T - [[1/4 1/4],[1/4 3/4]] * [-11.5, 4.5]^T = [-3.5, 2.5]^T
可以看到,经过三次迭代之后,我们得到了函数 f(x) 的极小值点 x^* = [-3.5, 2.5]^T,此时 f(x^*) 的极小值为 -12.25。
注意,牛顿法可能会出现无法收敛的情况,因此需要设定一个最大迭代次数,如果超过最大迭代次数还没有收敛,则认为算法失败。