用C++用龙贝格方法计算∫_0^0.8▒〖e^(-x^2 ) dx〗

龙贝格积分方法是一种数值积分算法，主要用于高精度地估计函数的定积分。在C++中，我们可以利用四阶龙贝格规则（一种变型的辛普森法则）来近似计算给定区间内的积分。下面是基本步骤：

1. 定义一个函数，比如 `exp_minus_x_squared`，它接受 x 并返回 e^(-x^2) 的值。
2. 定义一个数组 `weights` 存储龙贝格节点的权重系数。
3. 定义一个 `integrate` 函数，接收分段数 `n` 和积分上限 `a`（这里是 0.8），并递归地应用龙贝格积分公式。

以下是简化版的示例代码：

#include <cmath>
#include <vector>

double exp_minus_x_squared(double x) {
    return std::exp(-x * x);
}

std::vector<double> weights(int n) {
    std::vector<double> w(n + 1);
    double t = 1. / (4 * n);
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        if (i % 2 == 0)
            w[i] = t;
        else
            w[i] = 4 * t;
    }
    return w;
}

double trapezoidal_rule(double a, double b, int n, double (*f)(double)) {
    double integral = f(a) + f(b);
    double h = (b - a) / n;
    for (int i = 1; i < n; ++i)
        integral += f(a + i * h) + f(a + (i + 1) * h);
    integral *= h / 2;
    return integral;
}

double romberg(int m, double a, double b, int n, double (*f)(double), const std::vector<double>& weights) {
    double Tn = trapezoidal_rule(a, b, n, f);
    double Rm = 0;

    for (int j = 0; j <= m; ++j) {
        double Sn = Tn;
        for (int k = 0; k <= n - (2 * j); ++k)
            Sn /= 2;
        Rm += weights[j] * Sn;
    }

    return Rm;
}

// 使用龙贝格方法计算积分
double integrate_e_exp_minus_x_sqr(double a, double b, int max_depth, int n) {
    double result = romberg(0, a, b, n, exp_minus_x_squared, weights(max_depth));
    return result;
}

int main() {
    double lower_limit = 0;
    double upper_limit = 0.8;
    int max_depth = 5; // 龙贝格规则深度
    int n_segments = 10; // 每层的节点数

    double integral_approximation = integrate_e_exp_minus_x_sqr(lower_limit, upper_limit, max_depth, n_segments);
    std::cout << "∫_{" << lower_limit << "}^{" << upper_limit << "} e^(-x^2) dx ≈ " << integral_approximation << "\n";