已知描述系统的微分方程为y’’(t)+2y’(t)+ y(t)= f’(t)+2f(t)，当输入信号为f(t)=[2e＾(-2t)]×ε(t)时，该系统的零状态响应y(t)。

首先，求解输入信号的拉普拉斯变换：

$$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\mathcal{L}\{2e^{-2t}\cdot\epsilon(t)\}=2\mathcal{L}\{e^{-2t}\}\cdot\mathcal{L}\{\epsilon(t)\}=\frac{2}{s+2}$$

其中，$\epsilon(t)$表示单位阶跃函数。

根据微分方程，设零状态响应为$y_p(t)$，则有：

$$s^2y_p(s)-sy(0)-y'(0)+2s\cdot[sy_p(s)-y'(0)]+y_p(s)=F(s)\cdot[2s+4]$$

将$y(0)=y'(0)=0$代入上式，化简得：

$$(s^2+2s+1)y_p(s)=4\cdot\frac{2}{s+2}\cdot(s+2)$$

解得：

$$y_p(s)=\frac{16}{s+1}$$

对$y_p(s)$进行反演得：

$$y_p(t)=16e^{-t}$$

因此，系统的零状态响应为：

$$y(t)=y_p(t)=16e^{-t}$$

相关问题

已知系统的微分方程y "（t)+4y'(t)+3y(t)=2f'(t)+ f ( t ),用matlab求系统的单位冲激响应

可以利用MATLAB中的dsolve函数求解微分方程，再利用impulse函数求单位冲激响应。

以下是MATLAB代码：

syms y(t) f(t)
eqn = diff(y, t, 2) + 4 * diff(y, t) + 3 * y == 2 * diff(f, t) + f;
cond1 = y(0) == 0; % 初始条件y(0)=0
cond2 = subs(diff(y), t, 0) == 0; % 初始条件y'(0)=0
conds = [cond1, cond2];
ySol(t) = dsolve(eqn, conds);
h = impulse(ySol); % 求单位冲激响应
t = 0:0.1:10; % 定义时间段
plot(t, h); % 绘制单位冲激响应图像

这里使用syms定义符号变量y(t)和f(t)，利用diff函数求微分方程中y(t)和f(t)的导数，然后利用dsolve函数求解微分方程，得到ySol(t)表示系统的解析解。接着利用impulse函数求出系统的单位冲激响应h，并用plot函数绘制图像展示。

已知系统的微分方程y "（t)+4y'(t)+3y(t)=2f'(t)+ f ( t ),用matlab求系统的单位阶跃响应

### 回答1：
首先，将微分方程变为状态空间形式：

x1' = x2
x2' = -3x1 - 4x2 + 2u
y = x1

其中，x1表示系统的状态，x2表示状态的导数，u表示输入，y表示输出。

然后，写出系统的传递函数：

G(s) = Y(s) / U(s) = 1 / (s^2 + 4s + 3)

接着，使用MATLAB中的step函数求解系统的单位阶跃响应：

num = 1;
den = [1 4 3];
sys = tf(num, den);
step(sys);

运行以上代码即可得到系统的单位阶跃响应。

### 回答2：
要求解该系统的单位阶跃响应，首先需要将微分方程转换为传递函数形式。首先，设单位阶跃函数为u(t)，其拉普拉斯变换为1/s。将拉普拉斯相应的运算应用到微分方程中，可以得到：

s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 4sY(s) - 4y(0) + 3Y(s) = 2sF(s) - 2f(0)

整理后可得：

Y(s) = (s^2y(0) + y'(0) + 4sy(0) - 4y(0) + 3Y(s))/(s^2 + 4s + 3) + 2sF(s)/(s^2 + 4s + 3) - 2f(0)/(s^2 + 4s + 3)

由于本题是求单位阶跃响应，因此y(0) = y'(0) = 0，并且f(0)也为0。将这些条件带入上式，可以得到简化后的传递函数：

Y(s) = 2s/(s^2 + 4s + 3) = 2s/((s+1)(s+3))

根据部分分式分解的原理，可以将传递函数分解为两个部分：

Y(s) = A/(s+1) + B/(s+3)

通过求解A和B的值，可以得到传递函数的分解形式。将上式乘以(s+1)(s+3)，并与2s相等，可以得到：

2s = A(s+3) + B(s+1)

带入s=0和s=-1，可以得到A和B的值分别为1和-1。因此，分解形式为：

Y(s) = 1/(s+1) - 1/(s+3)

使用matlab可以直接求解传递函数的单位阶跃响应。代码如下：

syms s t
Y = 1/(s+1) - 1/(s+3);
y = ilaplace(Y, s, t);
pretty(y)

运行该代码，即可得到单位阶跃响应的表达式。

### 回答3：
要使用MATLAB求解系统的单位阶跃响应，首先需要将给定的微分方程转化为状态空间形式。状态空间形式的微分方程为：

x' = Ax + Bu
y = Cx + Du

其中，x是系统的状态向量，u是输入向量，y是输出向量，A、B、C和D是系统的常数矩阵。

对于给定的微分方程 y "（t) 4y'(t) 3y(t)=2f'(t) f ( t )，我们可以将其转化为状态空间形式的微分方程。假设状态向量 x 包含 y 和 y' 两个分量，即 x = [y; y']，输入向量 u = f(t)，则系统的状态方程可以表示为：

x' = [0 1; -3 -4]x + [0; 2]u

输出方程为：

y = [1 0]x

接下来，使用MATLAB的simulink模型进行仿真，求解系统的单位阶跃响应。

1. 打开MATLAB软件，并创建一个新的simulink模型。
2. 在simulink模型中，添加一个"State-Space"块，将状态方程中的A矩阵和B矩阵输入到该块中。
3. 添加一个"Step"块作为输入，连接到"State-Space"块的输入端口。
4. 添加一个"Scope"块，连接到"State-Space"块的输出端口。
5. 添加一个"Clock"块作为仿真的时钟信号，连接到系统的各个块上。
6. 设置仿真参数，如仿真时间等。
7. 运行仿真，观察"Scope"块中的输出即可得到系统的单位阶跃响应。

以上步骤是使用MATLAB的simulink模型进行求解系统的单位阶跃响应的基本流程。根据具体的系统方程和仿真要求，可以进行适当的修改和调整。