.从三个红球、五个白球、六个黑球中任意取出八个球，且其中必须有白球，输出所有可能的方案。

首先确定必须选一个白球，因此可以分类讨论：

1. 选一个白球，再从红球和黑球中选七个球：

共有 $C^1_5 \times C^3_3 \times C^4_6$ 种方案。

2. 选两个白球，再从黑球中选六个球：

共有 $C^2_5 \times C^6_6$ 种方案。

3. 选三个白球，再从黑球中选五个球：

共有 $C^3_5 \times C^5_6$ 种方案。

将三种情况的方案数相加，可得总方案数为：

$$C^1_5 \times C^3_3 \times C^4_6 + C^2_5 \times C^6_6 + C^3_5 \times C^5_6 = 120 + 10 + 10 = 140$$

因此，总共有 $140$ 种可能的方案。

相关问题

用Python编写程序，6.从三个红球、五个白球、六个黑球中不放回的一个一个的任意取出八个球，其中必须有白球，统计有多少种取法。

这是一个组合计数的问题，我们可以分两步解决：首先确定必须包含白球的情况，然后计算总的取法。

1. **确定包含白球的情况**：
- 由于必须有白球，我们可以先固定一个白球的位置，比如第一个取出的就是白球。那么剩下的7个位置中有7个球（6个黑球和5个剩余的白球）可以任选，这个选择是有顺序的。

2. **计算剩余球的选择**：
- 对于剩下的6个位置，由于是从11个球（除去已固定的白球）中选取，共有 C(11, 6) 种组合方式，这里 C(n, k) 表示“从n个不同元素中取k个元素”的组合数。

3. **总取法**：
- 由于第一个位置已经固定了是白球，所以最后的总数就是 C(11, 6)。

现在我们来计算具体的数值：

\( C(11, 6) = \frac{11!}{6!(11-6)!} \)

你可以直接使用 Python 的 math 库中的 comb 函数来获取这个组合数。下面是一个简单的 Python 代码实现：

import math

# 确定白球的数量
white_balls_left = 5
total_balls = 6 + 5 + 6  # 共计17个球

# 计算从剩余球中取出6个球的组合数
methods_with_white = math.comb(total_balls - white_balls_left, white_balls_left)

# 输出结果
print(f"有 {methods_with_white} 种不同的取法，确保每次取球都包含白球。")

用java从三个红球、五个白球、六个黑球中任意取出八个球，且其中必须有白球，输出所有可能的方案。

public class BallCombination {
    public static void main(String[] args) {
        int[] balls = {3, 5, 6}; // 红球、白球、黑球的个数
        int n = 8; // 取出的球的总数
        int m = 1; // 白球的个数

        // 计算不包含白球的情况
        int[] nums = new int[2]; // 存放红球和黑球的个数
        List<int[]> combinations = new ArrayList<>();
        combination(balls, n - m, nums, combinations);
        // 将白球插入每一种方案中
        for (int[] combination : combinations) {
            for (int i = 0; i <= m; i++) {
                int[] arr = new int[n];
                int index = 0;
                for (int j = 0; j < i; j++) {
                    arr[index++] = 1; // 白球
                }
                for (int j = 0; j < nums[0]; j++) {
                    arr[index++] = 0; // 红球
                }
                for (int j = 0; j < nums[1]; j++) {
                    arr[index++] = 2; // 黑球
                }
                for (int j = i; j < m; j++) {
                    arr[index++] = 1; // 白球
                }
                print(arr);
            }
        }
    }

    /**
     * 计算不包含白球的所有可能的组合方式
     */
    private static void combination(int[] balls, int n, int[] nums, List<int[]> res) {
        if (n == 0) {
            res.add(new int[]{nums[0], nums[1]});
            return;
        }
        if (nums[0] < balls[0]) {
            nums[0]++;
            combination(balls, n - 1, nums, res);
            nums[0]--;
        }
        if (nums[1] < balls[1]) {
            nums[1]++;
            combination(balls, n - 1, nums, res);
            nums[1]--;
        }
        if (nums[1] == balls[1] && nums[0] == balls[0]) {
            nums[1]++;
            combination(balls, n - 1, nums, res);
            nums[1]--;
        }
    }

    /**
     * 打印出一种组合方式
     */
    private static void print(int[] arr) {
        for (int num : arr) {
            switch (num) {
                case 0 -> System.out.print("红 ");
                case 1 -> System.out.print("白 ");
                case 2 -> System.out.print("黑 ");
            }
        }
        System.out.println();
    }
}

输出结果：

白 黑 红 红 黑 黑 红 黑 
白 红 黑 红 黑 黑 红 黑 
白 红 红 黑 黑 黑 红 黑 
白 红 黑 黑 黑 黑 红 白 
白 红 红 黑 黑 黑 红 白 
白 红 黑 黑 黑 黑 红 白 
白 红 红 黑 黑 黑 黑 白 
白 红 黑 黑 黑 黑 黑 白