$H(t) = \sum_{t_i \leq t} \frac{d_i}{n_i}$ 图片
时间: 2024-04-29 19:19:58 浏览: 19
下面是一个示例图,展示了危害函数的计算和绘制过程。
![Nelson-Aalen Plot](https://i.imgur.com/EjQJfLJ.png)
在这个示例中,绿线表示危害函数。在$t=0$时间点,危害函数的值为0,因为在这个时间点之前没有事件发生。在$t=5$时间点,有2个事件发生,因此危害函数的值为$\frac{2}{10}=0.2$。在$t=10$和$t=15$时间点,分别有3个事件发生,因此危害函数的值分别为$\frac{2+3}{10+8}=0.28$和$\frac{2+3+3}{10+8+5}=0.45$。通过绘制Nelson-Aalen曲线,可以更好地观察危害函数的变化趋势和风险的累积情况。
相关问题
$$\max \sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} x_{i,j}$$ s.t. $$\sum_{i=i_0}^{i_0+9}\sum_{j=j_0}^{j_0+9} x_{i,j} \leq 1, \forall i_0,j_0,h$$ $$\sum_{i=i_0-h}^{i_0+h}\sum_{j=j_0-h}^{j_0+h} x_{i,j} \leq (2h+1)^2, \forall i_0,j_0,h$$ $$\sum_{i=i_0-d}^{i_0+d}\sum_{j=j_0-d}^{j_0+d} x_{i,j} \leq \pi(2.5)^2, \forall i_0,j_0$$ $$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h})^2 \leq \sigma^2$$ $$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h}_{i,j})^2 \leq \delta$$ $$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} (10h_{i,j}+10)x_{i,j} \leq B$$ $$x_{i,j} \in {0,1}, \forall i,j$$
这是一个线性规划问题。其中,$x_{i,j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列是否选中,$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} x_{i,j}$ 表示选中的格子数。我们需要最大化选中的格子数,同时满足一些限制条件。
限制条件如下:
1. $\sum_{i=i_0}^{i_0+9}\sum_{j=j_0}^{j_0+9} x_{i,j} \leq 1, \forall i_0,j_0,h$:对于每个 $10\times 10$ 的方格中,最多只能选中一个格子。
2. $\sum_{i=i_0-h}^{i_0+h}\sum_{j=j_0-h}^{j_0+h} x_{i,j} \leq (2h+1)^2, \forall i_0,j_0,h$:对于每个半径为 $h$ 的正方形中,最多只能选中 $(2h+1)^2$ 个格子。
3. $\sum_{i=i_0-d}^{i_0+d}\sum_{j=j_0-d}^{j_0+d} x_{i,j} \leq \pi(2.5)^2, \forall i_0,j_0$:对于每个半径为 $2.5$ 的圆中,最多只能选中 $\pi(2.5)^2$ 个格子。
4. $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h})^2 \leq \sigma^2$:选中的格子的高度的方差不能超过 $\sigma^2$。
5. $\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h}_{i,j})^2 \leq \delta$:选中的格子的高度与平均高度的差的平方和不能超过 $\delta$。
6. $\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} (10h_{i,j}+10)x_{i,j} \leq B$:选中的格子的高度之和不能超过 $B$。
我们可以将这个问题表示为如下的线性规划模型:
$$\max \sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} x_{i,j}$$
s.t.
$$\sum_{i=i_0}^{i_0+9}\sum_{j=j_0}^{j_0+9} x_{i,j} \leq 1, \forall i_0,j_0,h$$
$$\sum_{i=i_0-h}^{i_0+h}\sum_{j=j_0-h}^{j_0+h} x_{i,j} \leq (2h+1)^2, \forall i_0,j_0,h$$
$$\sum_{i=i_0-d}^{i_0+d}\sum_{j=j_0-d}^{j_0+d} x_{i,j} \leq \pi(2.5)^2, \forall i_0,j_0$$
$$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h})^2 \leq \sigma^2$$
$$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h}_{i,j})^2 \leq \delta$$
$$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} (10h_{i,j}+10)x_{i,j} \leq B$$
$$x_{i,j} \in {0,1}, \forall i,j$$
其中,$N$ 表示选中的格子数,$\bar{h}$ 表示选中的格子的平均高度。
$\dot{V}=-\sum_{i=1}^n m_i k_1 |e_i| |e_i| \leq 0$我没看明白
抱歉,我的表述可能有些含糊。我来解释一下这个式子的含义。
首先,我们知道李雅普诺夫函数的导数$\dot{V}$应该小于等于零,才能证明系统是稳定的。因此,我们需要计算$\dot{V}$的值,看看它是否小于等于零。
根据李雅普诺夫函数的定义,$V=\sum_{i=1}^n V_i(t)$,其中$V_i(t)=\frac{m_i}{2}\sigma_i^2$,$m_i$是一个正常数,用于控制每个维度上的权重。因此,我们可以计算出李雅普诺夫函数的导数为:
$$\begin{aligned} \dot{V} &= \sum_{i=1}^n \frac{d}{dt}\left(\frac{m_i}{2}\sigma_i^2\right) \\ &= \sum_{i=1}^n m_i \sigma_i \dot{\sigma_i} \end{aligned}$$
接下来,我们将滑模面的表达式代入上式,得到:
$$\begin{aligned} \dot{V} &= \sum_{i=1}^n m_i \sigma_i \dot{\sigma_i} \\ &= -\sum_{i=1}^n m_i k_1 \sigma_i |e_i| \\ &= -\sum_{i=1}^n m_i k_1 |e_i| |e_i| \end{aligned}$$
这里用到了滑模控制器的表达式$u_i=-\mathrm{sign}(\sigma_i)k_1|e_i|$。由于$\sigma_i$等于$e_i+\dot{e_i}$,因此$\dot{\sigma_i}=\ddot{e_i}$。将$u_i$的表达式代入$\dot{\sigma_i}$的表达式,可以得到$\dot{\sigma_i}=-k_1|e_i|$,因此$\dot{\sigma_i}$等于$-k_1|e_i|$。将$\dot{\sigma_i}$的表达式代入$\dot{V}$的表达式,可以得到$\dot{V}=-\sum_{i=1}^n m_i k_1 \sigma_i |e_i|=-\sum_{i=1}^n m_i k_1 |e_i| |e_i|$。
由于$k_1$是一个正的常数,而$|e_i|^2$也是非负的,因此$k_1|e_i|^2$是非负的。因此,$k_1|e_i|^2$的符号等于$e_i$的符号,即$\mathrm{sign}(e_i)|e_i|^2$。因为$\mathrm{sign}(e_i)$等于$\mathrm{sign}(\sigma_i)$,所以$-\mathrm{sign}(\sigma_i)|e_i|$的符号与$e_i$相反。因此,$u_i$的符号与$e_i$相反,从而保证了滑模面的稳定性。
因此,我们可以得到$\dot{V}=-\sum_{i=1}^n m_i k_1 |e_i| |e_i| \leq 0$,证明了滑模控制器的李雅普诺夫函数是一个下降函数,即$\dot{V}\leq 0$。