如何利用MATLAB绘制特定开环传递函数的根轨迹图，并根据根轨迹分析闭环系统的稳定性？请结合具体的开环传递函数给出示例。

根轨迹分析是控制系统设计中不可或缺的环节，它帮助工程师通过观察开环增益变化对闭环系统极点影响的方式来评估系统稳定性。在MATLAB环境下，绘制根轨迹和进行稳定性分析是通过几个步骤来实现的。

参考资源链接：[MATLAB绘制控制系统根轨迹分析](https://wenku.csdn.net/doc/2ifafgatmt?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，确定开环传递函数的极点和零点。对于本案例，开环传递函数G(s)如下：

\[ G(s) = \frac{k}{(s+4)(s+6)(s^2 + 4s + 7)(s^2 + 9s + 14)} \]

接下来，使用MATLAB的`rlocus`函数直接绘制根轨迹图。示例代码如下：

num = [k]; % 分子系数，k为增益值
den = conv([1, 10], conv([1, 6], conv([1, 4, 7], [1, 9, 14]))); % 分母系数，包含开环极点和零点
rlocus(num, den); % 绘制根轨迹图

运行上述代码后，MATLAB会显示根轨迹图，并且会自动计算出增益k的值，使得闭环系统具有特定的性能指标。在根轨迹图中，闭环系统的稳定性可以通过检查根轨迹是否完全位于复平面的左半部来评估。如果所有闭环极点都位于左半平面，那么闭环系统是稳定的。

在根轨迹图中，还可以观察到一些特殊的点，如根轨迹的起始点和终点，这些点对应的增益值表示系统处于临界稳定状态。此外，根轨迹与虚轴的交点可以帮助我们判断系统的阻尼比。

为了获得更详尽的稳定性分析，还可以计算分离点和入射角。分离点是根轨迹从实轴分离的点，而入射角是根轨迹与虚轴的夹角。这些几何参数对于确定系统稳定性和响应特性非常有用。

通过这些分析，我们不仅可以了解系统的稳定性，还可以找到合适的增益值范围来设计系统校正策略，如增加超前或者滞后环节，来改善系统的稳定性和动态响应。

最后，如果需要进一步的系统设计和分析，可以结合MATLAB中的其他工具箱，如Control System Toolbox，进行更深入的控制系统的优化和设计。《MATLAB绘制控制系统根轨迹分析》课件是一个很好的资源，它详细讲解了如何运用MATLAB工具绘制根轨迹，并结合实例分析系统的稳定性及如何进行系统校正，对于理解和应用根轨迹分析具有重要参考价值。

参考资源链接：[MATLAB绘制控制系统根轨迹分析](https://wenku.csdn.net/doc/2ifafgatmt?spm=1055.2569.3001.10343)