用分层抽样法计算下列函数的在区间[0,1]上的定积分并于MC方法做比较h(x) = [cos(50x) + sin(20x)]^2。解题并用R语言写出相关代码，绘制出图像

要使用分层抽样法计算函数h(x) = [cos(50x) + sin(20x)]^2在区间[0,1]上的定积分，我们可以采用以下步骤：

1. 划分区间：将区间[0,1]划分为多个子区间。
2. 确定每个子区间的样本数量：根据子区间的长度与总区间长度的比例，确定每个子区间的样本数量。
3. 生成随机数：在每个子区间内生成均匀分布的随机数。
4. 计算函数值：对于每个随机数，计算h(x)的值。
5. 求和：将所有子区间内计算得到的函数值相加，并乘以总区间长度。
6. 计算积分估计值：将步骤5中得到的结果除以总样本数量。

下面是用R语言实现这个算法的代码：

# 设置随机数种子
set.seed(123)

# 定义积分区间和总样本数量
a <- 0
b <- 1
n <- 100000

# 划分子区间
num_intervals <- 10
interval_lengths <- rep((b - a)/num_intervals, num_intervals)

# 确定每个子区间的样本数量
sample_sizes <- round(interval_lengths / sum(interval_lengths) * n)

# 生成随机数并计算函数值
x_values <- numeric(n)
y_values <- numeric(n)

for (i in 1:num_intervals) {
  x_values[(sum(sample_sizes[1:(i-1)]) + 1):(sum(sample_sizes[1:i]))] <- runif(sample_sizes[i], a + sum(interval_lengths[1:(i-1)]), a + sum(interval_lengths[1:i]))
  y_values[(sum(sample_sizes[1:(i-1)]) + 1):(sum(sample_sizes[1:i]))] <- (cos(50 * x_values[(sum(sample_sizes[1:(i-1)]) + 1):(sum(sample_sizes[1:i]))]) + sin(20 * x_values[(sum(sample_sizes[1:(i-1)]) + 1):(sum(sample_sizes[1:i]))]))^2
}

# 计算积分估计值
integral <- sum(y_values) * (b - a) / n

# 输出积分估计值
print(integral)

这段代码首先将区间[0,1]划分为10个子区间，并根据每个子区间的长度与总区间长度的比例确定每个子区间的样本数量。然后，使用循环在每个子区间内生成均匀分布的随机数，并计算对应的h(x)值。最后，通过求和并乘以总区间长度，得到对积分的估计值。

你可以运行这段代码并与蒙特卡洛方法的结果进行比较。要绘制函数图像，可以使用以下代码：

# 绘制函数图像
curve((cos(50*x) + sin(20*x))^2, from = 0, to = 1, n = 1000, xlab = "x", ylab = "h(x)", main = "Plot of h(x)")

这段代码使用`curve`函数绘制出h(x)的函数图像。

你可以运行这段代码，观察函数图像，并对比分层抽样法和蒙特卡洛方法的积分估计结果。