连续分布的CDF：解锁平滑概率分布的奥秘

# 1. 连续分布的CDF：理论基础

连续分布的累积分布函数（CDF）是概率论和统计学中的一个基本概念，它描述了随机变量在给定值或以下取值的概率。CDF是一个非递减函数，其取值范围为[0, 1]。

对于连续分布，CDF可以通过积分概率密度函数（PDF）获得。PDF表示随机变量在特定值处取值的概率。CDF和PDF之间的关系可以通过以下公式表示：

F(x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt

其中：

* F(x) 是随机变量 X 的 CDF
* f(x) 是 X 的 PDF

# 2. CDF的计算和应用

### 2.1 CDF的积分计算

**定义：**

连续分布的累积分布函数（CDF）是概率密度函数（PDF）的积分，表示随机变量取值小于或等于给定值的概率。

**公式：**

F(x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt

其中：

* F(x) 是 CDF
* f(x) 是 PDF
* t 是积分变量

**代码示例：**

import numpy as np

# 正态分布的PDF
def normal_pdf(x, mu, sigma):
    return (1 / (sigma * np.sqrt(2 * np.pi))) * np.exp(-((x - mu) ** 2) / (2 * sigma ** 2))

# 正态分布的CDF
def normal_cdf(x, mu, sigma):
    return np.integral(normal_pdf(t, mu, sigma), t, -np.inf, x)

**逻辑分析：**

* `normal_pdf` 函数定义了正态分布的 PDF，其中 `mu` 和 `sigma` 分别是均值和标准差。
* `normal_cdf` 函数使用 `np.integral` 函数对 PDF 进行积分，得到 CDF。
* 积分的下限为负无穷大，表示从负无穷大到 `x` 的所有值。

### 2.2 CDF的统计推断

**置信区间：**

CDF 可用于计算置信区间，即随机变量落入给定范围内的概率。

**公式：**

P(a < X < b) = F(b) - F(a)

其中：

* P(a < X < b) 是置信区间
* F(a) 和 F(b) 分别是 CDF 在 a 和 b 处的取值

**代码示例：**

# 正态分布的置信区间
def normal_confidence_interval(x, mu, sigma, alpha):
    z_alpha_2 = np.quantile(np.random.standard_normal(10000), 1 - alpha / 2)
    return mu + z_alpha_2 * sigma, mu - z_alpha_2 * sigma

**逻辑分析：**

* `normal_confidence_interval` 函数计算正态分布的置信区间。
* `z_alpha_2` 是标准正态分布的 1 - alpha / 2 分位数，表示置信水平为 1 - alpha。
* 置信区间为 `mu + z_alpha_2 * sigma` 和 `mu - z_alpha_2 * sigma`。

### 2.3 CDF在概率建模中的应用

**风险评估：**

CDF 可用于评估随机变量超过给定阈值的风险。

**公式：**

P(X > x) = 1 - F(x)

其中：

* P(X > x) 是超过阈值 x 的风险
* F(x) 是 CDF 在 x 处的取值

**代码示例：**

# 正态分布的风险评估
def normal_risk_assessment(x, mu, sigma):
    return 1