CDF的内功心法：揭示概率分布的本质规律

# 1. 概率分布的理论基础

概率分布是描述随机变量可能取值的概率的一种数学模型。它在统计学、机器学习和金融等领域有着广泛的应用。

概率分布的理论基础建立在概率论和统计学的原理之上。概率论提供了一个框架来量化事件发生的可能性，而统计学提供了一种从数据中推断总体特征的方法。

概率分布的类型有很多，包括离散型概率分布和连续型概率分布。离散型概率分布描述的是只能取有限个或可数个值的随机变量，而连续型概率分布描述的是可以取任何值（在一个连续区间内）的随机变量。

# 2. 概率分布的实践应用

概率分布在实际应用中有着广泛的应用，从数据分析到机器学习再到金融工程，都有着重要的作用。本章节将介绍概率分布在不同领域的应用，包括离散型概率分布、连续型概率分布以及概率分布的拟合和检验。

### 2.1 离散型概率分布

离散型概率分布描述的是离散随机变量的概率分布，即随机变量只能取有限个或可数个值。常见的离散型概率分布包括二项分布和泊松分布。

#### 2.1.1 二项分布

二项分布描述的是在 n 次独立重复实验中，成功事件发生 k 次的概率分布。其概率质量函数为：

def binomial_pmf(k, n, p):
    """
    计算二项分布的概率质量函数。

    参数：
        k：成功事件发生的次数
        n：独立重复实验的次数
        p：成功事件发生的概率
    """
    return (n choose k) * p**k * (1-p)**(n-k)

其中，(n choose k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。

二项分布在实际应用中非常广泛，例如：

* 掷硬币 n 次，正面朝上的次数 k 的概率分布
* 在 n 次抽样中，有缺陷产品的数量 k 的概率分布

#### 2.1.2 泊松分布

泊松分布描述的是在一段时间或空间内，随机事件发生的次数的概率分布。其概率质量函数为：

def poisson_pmf(k, lambda_):
    """
    计算泊松分布的概率质量函数。

    参数：
        k：随机事件发生的次数
        lambda_：平均发生率
    """
    return (lambda_**k / math.factorial(k)) * math.exp(-lambda_)

其中，lambda_ 表示一段时间或空间内平均发生率。

泊松分布在实际应用中也很常见，例如：

* 一小时内接到的电话数量的概率分布
* 单位面积内缺陷的数量的概率分布

### 2.2 连续型概率分布

连续型概率分布描述的是连续随机变量的概率分布，即随机变量可以取任何实数。常见的连续型概率分布包括正态分布和指数分布。

#### 2.2.1 正态分布

正态分布也称为高斯分布，是自然界中常见的概率分布。其概率密度函数为：

def normal_pdf(x, mu, sigma):
    """
    计算正态分布的概率密度函数。

    参数：
        x：随机变量的值
        mu：正态分布的均值
        sigma：正态分布的标准差
    """
    return (1 / (sigma * math.sqrt(2 * math.pi))) * math.exp(-((x - mu)**2) / (2 * sigma**2))

其中，mu 表示正态分布的均值，sigma 表示正态分布的标准差。

正态分布在实