CDF在统计推断中的妙用：从抽样到参数估计

# 1. CDF在统计推断中的概述

累积分布函数 (CDF) 是统计推断中的一个基本概念，用于描述随机变量的分布。CDF 提供了随机变量在特定值以下或等于该值的概率。在统计推断中，CDF 具有广泛的应用，包括抽样分布、置信区间、参数估计和假设检验。

CDF 的关键特性包括：

- **非负性：**CDF 始终大于或等于 0。
- **单调递增：**CDF 随着随机变量值的增加而单调递增。
- **极限值：**CDF 在负无穷大处为 0，在正无穷大处为 1。

# 2. CDF的理论基础

### 2.1 概率密度函数和累积分布函数

#### 概率密度函数

概率密度函数（PDF）描述了随机变量在特定值处取值的可能性。对于连续型随机变量 X，其 PDF f(x) 定义为：

f(x) = lim (h -> 0) [P(x <= X < x + h) / h]

其中，h 是一个无穷小的正数。

#### 累积分布函数

累积分布函数（CDF）F(x) 表示随机变量 X 小于或等于 x 的概率。它定义为：

F(x) = P(X <= x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt

对于连续型随机变量，CDF 是 PDF 的积分。

### 2.2 CDF的性质和应用

#### CDF的性质

CDF 具有以下性质：

- **非递减性：** F(x) 随着 x 的增加而单调非递减。
- **极限值：** lim (x -> -∞) F(x) = 0，lim (x -> ∞) F(x) = 1。
- **概率质量：** 对于离散型随机变量，F(x) 在 x 处跳跃，跳跃高度等于 P(X = x)。

#### CDF的应用

CDF 在统计推断中具有广泛的应用，包括：

- **计算概率：** F(x) 给出了 X 小于或等于 x 的概率。
- **生成随机变量：** CDF 可用于生成随机变量的样本。
- **构造置信区间：** CDF 用于构造置信区间，估计未知参数的真实值。
- **假设检验：** CDF 用于检验统计假设，例如比较两个样本的均值。

#### 代码示例

以下 Python 代码演示了如何计算正态分布的 C