离散分布的CDF：探索离散概率分布的精髓

# 1. 离散分布的理论基础**

离散分布是一种概率分布，其中随机变量只能取有限个或可数个离散值。它与连续分布形成对比，后者允许随机变量取任何值。离散分布在许多实际应用中都很常见，例如质量控制、医学研究和自然灾害预测。

离散分布的理论基础建立在概率论和组合学之上。概率论提供了一个框架来量化事件发生的可能性，而组合学提供了一种方法来计算可能的事件数量。通过结合这两个领域，我们可以推导出离散分布的概率质量函数和累积分布函数。

概率质量函数 (PMF) 定义了随机变量取每个可能值的概率。累积分布函数 (CDF) 定义了随机变量小于或等于给定值的概率。这些函数对于理解和使用离散分布至关重要。

# 2. 离散分布的概率质量函数

### 2.1 伯努利分布

#### 2.1.1 伯努利分布的定义和性质

伯努利分布是一种离散概率分布，用于描述只有两种可能结果的实验，即成功或失败。其定义如下：

- **成功概率：**p，表示实验成功的结果发生的概率。
- **失败概率：**q = 1 - p，表示实验失败的结果发生的概率。

伯努利分布的性质包括：

- **离散性：**只能取有限或可数无限个值。
- **二值性：**只有两种可能的结果。
- **独立性：**每次实验的结果与其他实验的结果无关。

#### 2.1.2 伯努利分布的概率质量函数

伯努利分布的概率质量函数给出了在给定成功概率 p 的情况下，实验成功或失败的概率。其表达式为：

P(X = k) = p^k * q^(1-k)

其中：

- X 表示实验的结果，取值为 0（失败）或 1（成功）。
- k 表示 X 的取值。

**代码逻辑分析：**

该代码块计算了伯努利分布中 X 取不同值的概率。当 X = 0 时，表示实验失败，其概率为 q；当 X = 1 时，表示实验成功，其概率为 p。

### 2.2 二项分布

#### 2.2.1 二项分布的定义和性质

二项分布是一种离散概率分布，用于描述重复 n 次独立实验中成功次数的分布。其定义如下：

- **实验次数：**n，表示重复实验的次数。
- **成功概率：**p，表示每次实验成功的结果发生的概率。

二项分布的性质包括：

- **离散性：**只能取有限或可数无限个值。
- **二值性：**每次实验只有两种可能的结果（成功或失败）。
- **独立性：**每次实验的结果与其他实验的结果无关。
- **有限支持：**只在 0 到 n 之间的整数范围内取值。

#### 2.2.2 二项分布的概率质量函数

二项分布的概率质量函数给出了在给定成功概率 p 和实验次数 n 的情况下，成功次数 k 的概率。其表达式为：

P(X = k) = (n choose k) * p^k * q^(n-k)

其中：

- X 表示成功次数，取值为 0 到 n。
- k 表示 X 的取值。
- (n choose k) 表示组合数，计算从 n 个元素中选择 k 个元素的组合数。

**代码逻辑分析：**

该代码块计算了二项分布中 X 取不同值的概率。组合数 (n choose k) 计算了从 n 次实验中选择 k 次成功的组合数。然后，根据成功概率 p 和失败概率 q，计算了成功 k 次的概率。

### 2.3 泊松分布

#### 2.3.1 泊松分布的定义和性质

泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在给定时间或空间间隔内发生事件的次数。其定义如下：

- **事件率：**λ，表示单位时间或空间间隔内事件发生的平均次数。

泊松分布的性质包括：

- **离散