CDF与生存函数:概率分布的互补视角,洞察更深
发布时间: 2024-07-02 22:31:41 阅读量: 4 订阅数: 11 ![](https://csdnimg.cn/release/wenkucmsfe/public/img/col_vip.0fdee7e1.png)
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# 1. 概率分布的理论基础
概率分布是描述随机变量可能取值的概率的一种数学模型。它提供了随机变量取不同值的可能性分布。概率分布的理论基础包括:
- **随机变量:**一个随机变量是一个函数,它将样本空间中的每个元素映射到实数。
- **概率质量函数 (PMF):**离散随机变量的概率分布由其 PMF 定义,它指定了随机变量取每个值的概率。
- **概率密度函数 (PDF):**连续随机变量的概率分布由其 PDF 定义,它指定了随机变量取任何特定值的概率密度。
- **累积分布函数 (CDF):**CDF 是一个函数,它给出了随机变量小于或等于某个值的概率。
- **生存函数:**生存函数是一个函数,它给出了随机变量大于某个值的概率。
# 2. CDF与生存函数的概念和性质
### 2.1 CDF的定义和性质
**2.1.1 CDF的单调性**
累积分布函数(CDF)是单调不减的,即对于任何两个随机变量X的取值x1和x2,如果x1 < x2,则F(x1) ≤ F(x2)。
**证明:**
设X是一个连续随机变量,其概率密度函数为f(x)。则CDF为:
```
F(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^x f(t) dt
```
对于x1 < x2,有:
```
F(x1) = ∫_{-∞}^{x1} f(t) dt
F(x2) = ∫_{-∞}^{x2} f(t) dt
```
由于f(x) ≥ 0,因此:
```
F(x1) ≤ F(x2)
```
对于离散随机变量,证明类似。
**2.1.2 CDF的取值范围**
CDF的取值范围为[0, 1]。
**证明:**
对于任何随机变量X,P(X ≤ -∞) = 0,P(X ≤ ∞) = 1。因此:
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