CDF与PDF：概率分布的双剑合璧，威力无穷

# 1. 概率分布的基础**

概率分布是描述随机变量可能取值的概率分布。它为我们提供了了解随机变量行为及其可能结果的数学框架。概率分布有多种类型，其中最常见的两种是累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）。

CDF表示随机变量小于或等于某个值的概率，而PDF表示随机变量取某个特定值的概率。CDF和PDF是互补的函数，它们共同提供了随机变量的完整概率分布信息。

# 2. 累积分布函数（CDF）**

**2.1 CDF的定义和性质**

累积分布函数（CDF），又称分布函数，是概率论中的一个重要概念，它描述了随机变量取值小于或等于某个特定值的概率。对于一个连续随机变量X，其CDF定义为：

F(x) = P(X ≤ x)

其中：

* F(x) 表示随机变量X取值小于或等于x的概率
* P(X ≤ x) 表示事件{X ≤ x}发生的概率

CDF具有以下性质：

* **单调不减性：**对于任何x1和x2，如果x1 < x2，则F(x1) ≤ F(x2)。
* **范围：**CDF的取值范围为[0, 1]。
* **连续性：**对于连续随机变量，CDF是连续的。
* **离散性：**对于离散随机变量，CDF是阶梯函数。

**2.2 CDF的计算和应用**

**2.2.1 概率的计算**

CDF可用于计算随机变量取值在某个特定范围内的概率。对于一个连续随机变量X，事件{a ≤ X ≤ b}发生的概率为：

P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)

**2.2.2 分位数的计算**

CDF还可用于计算随机变量的分位数。对于一个给定的概率p，随机变量X的p分位数定义为：

x_p = inf{x | F(x) ≥ p}

其中：

* x_p 表示随机变量X的p分位数
* inf表示下确界

**2.3 CDF的图形表示和应用**

CDF的图形表示为一条从(0, 0)到(∞, 1)的单调不减曲线。CDF的形状可以揭示随机变量的分布特征。例如：

* **均匀分布：**CDF是一条直线。
* **正态分布：**CDF是一条钟形曲线。
* **指数分布：**CDF是一条指数曲线。

CDF的图形表示可以用于：

* **可视化随机变量的分布：**CDF的形状可以直观地显示随机变量的分布特征。
* **比较不同分布：**通过比较不同CDF的形状，可以比较不同分布的差异。
* **估计概率：**通过从CDF中读取概率值，可以估计随机变量取值在某个特定范围内的概率。

# 3. 概率密度函数（PDF）**

### 3.1 PDF的定义和性质

概率密度函数（PDF）描述了连续随机变量在特定值或值范围内的概率分布。它定义为随机变量在特定值或值范围内的概率密度，表示为：

f(x) = dP(X = x) / dx

其中：