功率谱与时频分析：探索功率谱在时频分析中的应用，深入分析信号时频特性

# 1. 功率谱的概念与理论**

功率谱是描述信号功率在频率域分布的函数。它可以揭示信号的频率特性，并为时频分析提供基础。

**1.1 功率谱的定义**

功率谱定义为信号功率在单位频率间隔内的分布。对于连续时间信号，功率谱为：

P(f) = lim_{T->\infty} \frac{1}{T} E[|X(f, T)|^2]

其中，X(f, T) 是信号的傅里叶变换，E[·] 表示期望值。

**1.2 功率谱的性质**

功率谱具有以下性质：

- 非负性：功率谱总是大于或等于零。
- 对称性：对于实信号，功率谱关于零频率对称。
- 能量守恒：信号的总能量等于功率谱在整个频率范围上的积分。

# 2. 功率谱的计算方法

### 2.1 时域法

#### 2.1.1 直接法

**概念：**

直接法直接从时域信号中计算功率谱，其基本原理是利用傅里叶级数展开时域信号，然后计算各谐波分量的幅度平方。

**步骤：**

1. 离散化时域信号：将连续时域信号采样离散化为离散时域信号。
2. 傅里叶变换：对离散时域信号进行傅里叶变换，得到频域信号。
3. 计算功率谱：计算频域信号中各频率分量的幅度平方，得到功率谱。

**代码块：**

import numpy as np

def power_spectrum_direct(signal, fs):
    """
    计算时域信号的功率谱（直接法）

    参数：
        signal: 时域信号
        fs: 采样频率

    返回：
        功率谱
    """

    # 离散化信号
    signal_discrete = np.array(signal)

    # 傅里叶变换
    fft = np.fft.fft(signal_discrete)

    # 计算功率谱
    power_spectrum = np.abs(fft)**2 / (fs * len(signal_discrete))

    return power_spectrum

**逻辑分析：**

* `power_spectrum_direct()` 函数接受时域信号 `signal` 和采样频率 `fs` 作为输入。
* 函数首先将时域信号离散化为 `signal_discrete`。
* 然后对离散信号进行傅里叶变换，得到频域信号 `fft`。
* 最后，计算各频率分量的幅度平方，并归一化得到功率谱。

#### 2.1.2 间接法

**概念：**

间接法先计算时域信号的自相关函数，然后利用维纳-辛钦定理将自相关函数转换为功率谱。

**步骤：**

1. 计算自相关函数：对时域信号进行自相关运算，得到自相关函数。
2. 傅里叶变换：对自相关函数进行傅里叶变换，得到功率谱。

**代码块：**

import numpy as np

def power_spectrum_indirect(signal, fs):
    """
    计算时域信号的功率谱（间接法）

    参数：
        signal: 时域信号
        fs: 采样频率

    返回：
        功率谱
    """

    # 计算自相关函数
    autocorr = np.correlate(signal, signal, mode='same')

    # 傅里叶变换
    fft = np.fft.fft(autocorr)

    # 计算功率谱
    power_spectrum = np.abs(fft)**2 / (fs * len(signal))

    return power_spectrum

**逻辑分析：**

* `power_spectrum_indirect()` 函数接受时域信号 `signal` 和采样频率 `fs` 作为输入。
* 函数首先计算时域信号的自相关函数 `autocorr`。
* 然后对自相关函数进行傅里叶变换，得到频域信号 `fft`。
* 最后，计算各频率分量的幅度平方，并归一化得到功率谱。

### 2.2 频域法

#### 2.2.1 傅里叶变换

**概念：**

傅里叶变换是一种数学变换，它将时域信号转换为频域信号。通过傅里叶变换，可以获得信号中各频率分量的幅度和相位信息。

**步骤：**

1. 傅里叶变换：对时域信号进行傅里叶变换，得到频域信号。
2. 计算功率谱：计算频域信号中各频率分量的幅度平方，得到功率谱。

**代码块：**

import numpy as np

def power_spectrum_fft(signal, fs):
    """
    计算时域信号的功率谱（傅里叶变换法）

    参数：
        signal: 时域信号
        fs: 采样频率

    返回：
        功率谱
    """

    # 傅里叶变换
    fft = np.fft.fft(signal)

    # 计算功率谱
    power_spectrum = np.abs(fft)**2 / (fs * len(signal))

    return power_spectrum

**逻辑分析：**

* `power_spectrum_fft()` 函数接受时域信号 `signal` 和采样频率 `fs` 作为输入。
* 函数直接对时域信号进行傅里叶变换，得到频域信号 `fft`。
* 最后，计算各频率分量的幅度平方，并归一化得到功率谱。

#### 2.2.2 短时傅里叶变换

**概念：**

短时傅里叶变换（STFT）是一种时频分析技术，它将时域信号划分为短时窗，然后对每个短时窗进行傅里叶变换，得到时频分布。

**步骤：**

1. 划分短时窗：将时域信号划分为重叠的短时窗。
2. 傅里叶变换：对每个短时窗进行傅里叶变换，得到频域信号。
3. 计算功率谱：计算频域信号中各频率分量的幅度平方，得到功率谱。

**代码块：**

import numpy as np

def power_spectrum_stft(signal, fs, window_size, hop_size):
    """
    计算时域信号的功率谱（短时傅里叶变换法）

    参数：
        signal: 时域信号
        fs: 采样频率
        window_size: 短时窗大小
        hop_size: 短时窗步长

    返回：