功率谱与控制系统分析：揭示功率谱在控制系统分析中的重要性，优化控制系统性能

# 1. 功率谱简介**

功率谱是一种描述信号功率随频率分布的函数。它在控制系统分析中具有重要的作用，可以帮助工程师了解系统的频率响应、稳定性和鲁棒性。功率谱通常表示为功率谱密度（PSD），单位为功率/频率。

功率谱的计算方法有多种，包括自相关函数法和功率谱密度函数法。其中，自相关函数法是通过计算信号的自相关函数，然后对其进行傅里叶变换得到功率谱。功率谱密度函数法则是通过计算信号的功率谱密度函数，然后对其进行积分得到功率谱。

# 2. 功率谱在控制系统分析中的应用

功率谱在控制系统分析中有着广泛的应用，它可以帮助工程师深入了解系统的频率特性，评估系统稳定性，并进行鲁棒性分析。

### 2.1 频率响应分析

频率响应分析是通过测量系统在不同频率下的输出响应来评估系统特性的技术。功率谱可以用来表示系统的频率响应，从而提供有关系统动态特性的宝贵信息。

#### 2.1.1 奈奎斯特图

奈奎斯特图是一种图形表示，它将系统的开环传递函数的幅值和相位角绘制在复平面上。奈奎斯特图可以用来评估系统的稳定性，并确定系统的增益和相位裕度。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义开环传递函数
num = [1]
den = [1, 2, 1]
G = tf(num, den)

# 计算奈奎斯特图
w = np.logspace(-3, 3, 1000)
G_w = G.evalfr(w)
mag_G_w = 20 * np.log10(np.abs(G_w))
phase_G_w = np.angle(G_w) * 180 / np.pi

# 绘制奈奎斯特图
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(mag_G_w, phase_G_w)
plt.grid()
plt.xlabel('Frequency (rad/s)')
plt.ylabel('Magnitude (dB), Phase (deg)')
plt.title('奈奎斯特图')
plt.show()

**代码逻辑分析：**

* 使用 `numpy` 库生成频率范围 `w`。
* 使用 `tf` 库计算开环传递函数 `G` 在频率 `w` 处的幅值和相位角。
* 将幅值和相位角转换为 dB 和度数。
* 使用 `matplotlib` 库绘制奈奎斯特图。

#### 2.1.2 波特图

波特图是一种频率响应分析的另一种形式，它将系统的幅值和相位角分别绘制在两个不同的图上。波特图可以用来评估系统的增益和相位裕度，并确定系统的带宽和截止频率。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义开环传递函数
num = [1]
den = [1, 2, 1]
G = tf(num, den)

# 计算波特图
w = np.logspace(-3, 3, 1000)
G_w = G.evalfr(w)
mag_G_w = 20 * np.log10(np.abs(G_w))
phase_G_w = np.angle(G_w) * 180 / np.pi

# 绘制波特图
plt.figure(figsize=(8, 6))

# 幅值图
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(w, mag_G_w)
plt.grid()
plt.xlabel('Frequency (rad/s)')
plt.ylabel('Magnitude (dB)')
plt.title('幅值图')

# 相位图
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(w, phase_G_w)
plt.grid()
plt.xlabel('Frequency (rad/s)')
plt.ylabel('Phase (deg)')
plt.title('相位图')

plt.show()

**代码逻辑分析：**

* 使用 `numpy` 库生成频率范围 `w`。
* 使用 `tf` 库计算开环传递函数 `G` 在频率 `w` 处的幅值和相位角。
*