MATLAB多项式拟合并行化秘籍：多核CPU加速拟合

# 1. MATLAB 多项式拟合基础**

MATLAB 多项式拟合是一种强大的工具，用于对数据进行建模和分析。它涉及使用多项式函数来近似一组数据点，从而揭示数据中的潜在模式和趋势。

多项式函数的阶数决定了拟合曲线的复杂性。低阶多项式产生简单的曲线，而高阶多项式可以捕捉更复杂的模式。拟合过程通过最小化拟合曲线和数据点之间的误差来确定多项式系数。

拟合质量可以通过多种指标来评估，例如均方根误差 (RMSE) 和决定系数 (R^2)。这些指标衡量拟合曲线的准确性和拟合数据中方差的百分比。

# 2.1 拟合质量评估和诊断

### 拟合质量度量

拟合质量评估是判断拟合模型是否充分描述数据的关键步骤。常用的拟合质量度量包括：

- **均方误差 (MSE)**：衡量拟合曲线与数据点之间的平均平方距离。
- **根均方误差 (RMSE)**：MSE 的平方根，表示拟合误差的标准差。
- **决定系数 (R^2)**：表示拟合曲线解释数据变异的比例。
- **调整后的决定系数 (Adjusted R^2)**：考虑模型复杂度对 R^2 的影响，防止过拟合。

### 拟合诊断图

除了定量度量外，拟合诊断图还可以提供对拟合质量的直观理解：

- **残差图**：显示数据点与拟合曲线的垂直距离，有助于识别异常值和拟合不足/过拟合。
- **正态概率图**：检查残差是否服从正态分布，如果偏离正态分布，可能存在异方差或其他问题。
- **自相关图**：检查残差序列是否存在自相关，自相关的存在可能表明拟合模型不充分。

### 拟合质量诊断步骤

拟合质量诊断通常遵循以下步骤：

1. 计算拟合质量度量。
2. 绘制拟合诊断图。
3. 分析度量和诊断图，识别拟合问题。
4. 根据需要调整模型或数据。

**代码块：拟合质量度量计算**

% 计算均方误差
mse = mean((y - fitcurve).^2);

% 计算根均方误差
rmse = sqrt(mse);

% 计算决定系数
r2 = 1 - sum((y - fitcurve).^2) / sum((y - mean(y)).^2);

% 计算调整后的决定系数
n = length(y);
k = length(fitcurve);
adjusted_r2 = 1 - (1 - r2) * (n - 1) / (n - k - 1);

**逻辑分析：**

* `mse` 计算了拟合曲线与数据点之间的平均平方距离。
* `rmse` 是 `mse` 的平方根，表示拟合误差的标准差。
* `r2` 计算了拟合曲线解释数据变异的比例。
* `adjusted_r2` 考虑了模型复杂度对 `r2` 的影响，防止过拟合。

# 3. MATLAB 多项式拟合实践

### 3.1 实验数据拟合

#### 实验数据拟合步骤

1. **数据导入和准备：**从实验仪器或数据文件中导入原始数据，并进行适当的预处理，如去除异常值、平滑数据等。
2. **模型选择：**根据数据的特征和拟合目的，选择合适的多项式模型，如线性、二次或高次多项式。
3. **参数估计：**使用 MATLAB 中的 `polyfit` 函数或其他拟合工具，根据数据点估计多项式模型的参数。
4. **模型评估：**计算拟合模型的残差和相关系数，评估拟合质量。
5. **可视化：**将拟合曲线与原始数据一起绘制，直观地展示拟合结果。

#### 代码示例：实验数据拟合

% 导入实验数据
data = load('experimental_data.txt');

% 选择多项式模型（二次多项式）
model_order = 2;

% 参数估计
coefficients = polyfit(data(:,1), data(:,2), model_order);

% 拟合曲线
fit_curve = polyval(coefficients, data(:,1));

% 模型评估
residuals = data(:,2) - fit_curve;
r_squared = 1 - sum(residuals.^2) / sum((data(:,2) - mean(data(:,2))).^2);

% 可视化
figure;
plot(data(:,1), data(:,2), 'o');
hold on;
plot(data(:,1), fit_curve, 'r-');
legend('Experimental Data', 'Fitted Curve');
xlabel('Independent Variable');
ylabel('Dependent Variable');
title('Experimental Data Fitting');

### 3.2 曲线拟合和插值

#### 曲线拟合与插值的区别

* **曲线拟合：**根据一组数据点寻找一条最佳拟合曲线，但曲线不一定经过所有数据点。
* **插值：**根据一组数据点构造一条曲线，使得曲线经过所有数据点。

#### MATLAB 中的曲线拟合和插值函数

| 函数 | 用途 |
|---|---|
| `polyfit` | 多项式拟合 |
| `polyval` | 多项式求值 |
| `interp1` | 一维插值 |
| `spline