利用链表实现大整数运算的技术思路

# 2.1 大整数的表示和存储

### 2.1.1 整数的进制表示

整数在计算机中通常以二进制、十进制或十六进制等进制表示。进制表示法将整数表示为一组数字，每个数字表示整数在该进制下的权重。例如，十进制数 123 可以表示为二进制数 1111011，其中每个数字表示 2 的幂。

### 2.1.2 链表存储大整数

对于大整数，直接使用内置的数据类型存储可能会溢出。因此，可以使用链表来存储大整数。链表是一种线性数据结构，由一系列节点组成，每个节点存储一个数据值和指向下一个节点的指针。通过将大整数分解为一系列较小的数字，并将其存储在链表的节点中，可以有效地表示大整数。

# 2. 大整数运算的理论基础

### 2.1 大整数的表示和存储

#### 2.1.1 整数的进制表示

整数的进制表示是指将整数表示为若干个特定进制的数字组合。常见的进制有十进制、二进制、八进制和十六进制。

* **十进制：**以 10 为基数，使用 0-9 十个数字表示整数。
* **二进制：**以 2 为基数，使用 0 和 1 两个数字表示整数。
* **八进制：**以 8 为基数，使用 0-7 八个数字表示整数。
* **十六进制：**以 16 为基数，使用 0-9 和 A-F 十六个数字表示整数。

#### 2.1.2 链表存储大整数

链表是一种非连续存储结构，它将数据存储在多个节点中，每个节点包含数据元素和指向下一个节点的指针。链表可以用来存储大整数，因为链表可以动态分配内存，不受数组大小的限制。

### 2.2 大整数的加减乘除运算

#### 2.2.1 大整数加法

**算法：**

1. 将两个大整数表示为链表，链表中每个节点存储一个数字。
2. 从链表尾部开始，逐位相加。
3. 如果相加结果大于或等于进制，则进位 1 到下一位。
4. 重复步骤 2 和 3，直到链表尾部。
5. 如果最后一位有进位，则创建一个新的节点存储进位。

**代码：**

def big_integer_add(num1, num2):
    """
    大整数加法
    :param num1: 大整数1
    :param num2: 大整数2
    :return: 大整数加法结果
    """
    result = ListNode(0)  # 结果链表的头节点
    carry = 0  # 进位
    current = result  # 当前节点

    # 遍历两个链表
    while num1 or num2 or carry:
        # 相加结果
        sum = carry
        if num1:
            sum += num1.val
            num1 = num1.next
        if num2:
            sum += num2.val
            num2 = num2.next

        # 进位
        carry = sum // 10
        sum %= 10

        # 创建新节点
        current.next = ListNode(sum)
        current = current.next

    return result.next

**逻辑分析：**

* `carry` 变量用于存储进位。
* 逐位相加，如果相加结果大于或等于进制，则进位 1。
* 如果最后一位有进位，则创建一个新的节点存储进位。

#### 2.2.2 大整数减法

**算法：**

1. 将两个大整数表示为链表，链表中每个节点存储一个数字。
2. 从链表尾部开始，逐位相减。
3. 如果相减结果小于 0，则向下一位借位 1。
4. 重复步骤 2 和 3，直到链表尾部。
5. 如果最后一位有借位，则从结果链表中删除该节点。

**代码：**

def big_integer_subtract(num1, num2):
    """
    大整数减法
    :param num1: 大整数1
    :param num2: 大整数2
    :return: 大整数减法结果
    """
    result = ListNode(0)  # 结果链表的头节点
    borrow = 0  # 借位
    current = result  # 当前节点

    # 遍历两个链表
    while num1 or num2 or borrow:
        # 相减结果
        diff = num1.val - borrow
        if num2:
            diff -= num2.val
            num2 = num2.next

        # 借位
        if diff < 0:
            borrow = 1
            diff += 10
        else:
            borrow = 0

        # 创建新节点
        current.next = ListNode(diff)
        current = current.next
        num1 = num1.next

    # 去除前导 0
    while result.next and result.next.val == 0:
        result = result.next

    return result.next

**逻辑分析：**

* `borrow` 变量用于存储借位。
* 逐位相减，如果相减结果小于 0，则向下一位借位 1。
* 如果最后一位有借位，则从结果链表中删除该节点。

#### 2.2.3 大整数乘法

**算法：**

1. 将两个大整数表示为链表，链表中每个节点存储一个数字。
2. 对第一个大整数的每个节点，分别与第二个大整数的每个节点相乘。
3. 将相乘结果存储在新的链表中，并根据乘法规则进行进位。
4. 将所有新链表相加，得到最终结果。

**代码：**

def big_integer_multiply(num1, num2):
    """
    大整数乘法
    :param num1: 大整数1
    :param num2: 大整数2
    :return: 大整数乘法结果
    """
    result = ListNode(0)  # 结果链表的头节点

    # 遍历第一个大整数的每个节点
    while num1:
        # 乘法结果链表
        product = List