余切函数图像的积分与面积：曲线下的奥秘揭晓

# 1. 余切函数的图像和性质

余切函数，记作 tan(x)，是三角函数中的一种，其定义为对边与邻边的比值。其图像是一条周期为 π 的奇函数，在原点处为奇点。

**图像特征：**

* 在原点处有垂直渐近线 x = (n + 1/2)π，n ∈ Z
* 在原点处有水平渐近线 y = 0
* 在区间 (-π/2, π/2) 内单调递增，在区间 (π/2, 3π/2) 内单调递减
* 对称性：tan(-x) = -tan(x)

# 2. 余切函数积分的理论基础

### 2.1 积分的基本概念和定积分

**积分**是求函数在给定区间内的面积或体积的数学运算。**定积分**是积分的一种特殊形式，它对函数在特定区间内的值进行求和。

**定积分的定义：**

∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ[i=1, n] f(xi) Δx

其中：
- f(x) 是被积函数
- [a, b] 是积分区间
- xi 是区间 [a, b] 中的第 i 个划分点
- Δx = (b - a) / n 是区间 [a, b] 的划分宽度

### 2.2 余切函数的导数和积分

**余切函数**的导数为：

d/dx tan(x) = sec^2(x)

**余切函数**的积分公式为：

∫ tan(x) dx = ln|sec(x)| + C

其中：
- sec(x) = 1 / cos(x)
- C 是积分常数

### 2.3 余切函数积分的换元法

**换元法**是积分中常用的技巧，它通过引入一个新的变量来简化积分。对于余切函数的积分，我们可以使用以下换元：

u = sec(x)

则：

du/dx = sec(x) tan(x)
dx = du / (sec(x) tan(x))

代入余切函数的积分公式，得到：

∫ tan(x) dx = ∫ (1 / u) du = ln|u| + C = ln|sec(x)| + C

**代码示例：**

import sympy

# 定义余切函数
tan = sympy.tan(x)

# 计算余切函数的积分
integral = sympy.integrate(tan, x)

# 打印积分结果
print(integral)

**逻辑分析：**

代码使用 S