解析式与几何意义：揭示余切函数图像的本质

# 1. 余切函数的定义和基本性质**

余切函数，记作 tan，是三角学中重要的函数之一。它定义为正弦函数与余弦函数的比值：

tan(x) = sin(x) / cos(x)

其中，x 是函数的自变量，表示角的度数或弧度。

余切函数的基本性质包括：

* 奇函数：tan(-x) = -tan(x)
* 周期函数：tan(x + π) = tan(x)
* 不连续点：余切函数在 cos(x) = 0 的点处不连续，即 x = (2n + 1)π/2 (n 为整数)

# 2. 余切函数的解析式分析

### 2.1 余切函数的解析式推导

**定义：** 余切函数定义为正弦函数与余弦函数的比值，即：

tan(x) = sin(x) / cos(x)

**解析式推导：**

利用正弦和余弦函数的欧拉公式：

sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / 2i
cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2

将欧拉公式代入余切函数的定义式，得到：

tan(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / 2i / (e^(ix) + e^(-ix)) / 2

化简得到：

tan(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (e^(ix) + e^(-ix))

进一步化简得到：

tan(x) = (e^(2ix) - 1) / (e^(2ix) + 1)

### 2.2 余切函数的周期性与对称性

**周期性：**

从解析式中可以看出，余切函数的周期为 π，即：

tan(x + π) = tan(x)

**对称性：**

余切函数是奇函数，即：

tan(-x) = -tan(x)

**证明：**

对于周期性，将 x 替换为 x + π，得到：

tan(x + π) = (e^(i(x + π)) - e^(-i(x + π))) / (e^(i(x + π)) + e^(-i(x + π)))

化简得到：

tan(x + π) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (e^(ix) + e^(-ix))

即：

tan(x + π) = tan(x)

对于对称性，将 x 替换为 -x，得到：

tan(-x) = (e^(i(-x)) - e^(-i(-x))) / (e^(i(-x)) + e^(-i(-x)))

化简得到：

tan(-x) = (e^(-ix) - e^(ix)) / (e^(-ix) + e^(ix))

即：

tan(-x) = -tan(x)

# 3.1 余切函数与单位圆

余切函数与单位圆有着密切的关系，可以利用单位圆来理解余