余切函数图像的极限与连续性：深入理解函数行为

# 1. 余切函数图像的极限与连续性概述

余切函数，记为 tan(x)，是三角函数中的一种，定义为正弦函数与余弦函数的比值。余切函数的图像具有独特的形状，在特定点处表现出极限和连续性方面的特殊性质。

### 1.1 极限概述

极限是函数在自变量趋于某一点时函数值趋近的值。余切函数在自变量 x 趋于特定值时可能存在极限，也可能不存在极限。极限的存在性与函数在该点的连续性密切相关。

### 1.2 连续性概述

连续性描述了函数在自变量变化时函数值的变化情况。余切函数在自变量 x 处连续意味着函数值在 x 处存在且唯一，并且当 x 趋于 x 时，函数值也趋于该值。

# 2. 余切函数极限的深入分析

### 2.1 定义域和值域

**定义域：**

余切函数的定义域为全体实数集，即 $(-\infty, \infty)$。这是因为正切函数的定义为正弦函数除以余弦函数，而正弦函数和余弦函数的定义域均为全体实数集。

**值域：**

余切函数的值域为全体实数集，即 $(-\infty, \infty)$。这是因为余切函数的定义为正弦函数除以余弦函数，而正弦函数和余弦函数的值域均为 $[-1, 1]$。由于余弦函数在 $(-\pi/2, \pi/2)$ 区间内恒不为零，因此余切函数在该区间内取值范围为 $(-\infty, \infty)$。而在 $(-\pi/2), (\pi/2)$ 区间外，余弦函数为零，余切函数不存在。

### 2.2 左极限和右极限

**左极限：**

当自变量 $x$ 趋于 $a$ 的负无穷大时，余切函数的左极限为：

lim_(x->a^-) tan(x) = -∞

**证明：**

当 $x$ 趋于 $a$ 的负无穷大时，正弦函数和余弦函数都趋于 $0$。由于正弦函数的负值大于余弦函数的负值，因此余切函数的负值趋于负无穷大。

**右极限：**

当自变量 $x$ 趋于 $a$ 的正无穷大时，余切函数的右极限为：

lim_(x->a^+) tan(x) = ∞

**证明：**

当 $x$ 趋于 $a$ 的正无穷大时，正弦函数和余弦函数都趋于 $0$。由于正弦函数的正值大于余弦函数的正值，因此余切函数的正值趋于正无穷大。

### 2.3 无穷大极限

**无穷大极限：**

当自变量 $x$ 趋于无穷大时，余切函数的无穷大极限为：

lim_(x->∞) tan(x) = ∞

**证明：**

当 $x$ 趋于无穷大时，正弦函数和余弦函数都趋于 $0$。由于正弦函数的正值大于余弦函数的正值，因此余切函数的正值趋于正无穷大。

**当自变量 $x$ 趋于负无穷大时，余切函数的无穷大极限为：**

lim_(x->-∞) tan(x) = -∞

**证明：**

当 $x$ 趋于负无穷大时，正弦函数和余弦函数都趋于 $0$。由于正弦函数的负值大于余弦函数的负值，因此余切函数的负值趋于负无穷大。

# 3. 余切函数连续性的深入研究

### 3.1 定义和必要条件

**定义：**

余切函数在点 \(x_0\) 处连续当且仅当以下条件