树算法面试宝典：20个必考题目的精辟解析与实战技巧

# 1. 树算法基础知识回顾

## 1.1 树的定义和特性

在计算机科学领域，树是一种重要的数据结构，广泛应用于各种算法设计中。树是由一个节点（称为根节点）和若干子树组成的数据结构，这些子树之间没有交集，并且每棵子树都是一棵树。

## 1.2 树的基本概念

树的数据结构中，每一个元素被称作一个节点，节点之间通过连接线（称为边）相连接。在树结构中，我们定义了一些特殊的节点：根节点没有父节点，叶子节点没有子节点。此外，节点的深度是指从根节点到该节点的最长路径上的边的数目。

## 1.3 常用树的分类

常见的树类型包括但不限于：

- 二叉树：每个节点最多有两个子节点的树。
- 完全二叉树：除了最后一层外，每一层都被完全填满，且所有节点都尽可能地向左。
- 平衡二叉树（AVL树）：任何一个节点的两个子树的高度差都不超过1的二叉搜索树。
- 红黑树：一种自平衡的二叉查找树。

理解这些基本概念是掌握树算法的基础，也是进一步学习树算法的先决条件。在后续章节中，我们将深入探讨各种树的算法和实际应用。

# 2. 树算法理论与实战技巧

### 2.1 树的遍历算法

树的遍历是树算法中最基本的操作，它涉及到对树中每个节点的访问。遍历算法可以分为深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)。

#### 2.1.1 深度优先搜索(DFS)

深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。这个算法会尽可能深地搜索树的分支。当节点v的所在边都已被探寻过，搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。这个过程一直进行到已发现从源节点可达的所有节点为止。

一个经典的DFS的Python代码示例如下：

def dfs(graph, start, visited=None):
    if visited is None:
        visited = set()
    visited.add(start)
    print(start)  # 标记节点为已访问
    for next in graph[start] - visited:
        dfs(graph, next, visited)
    return visited

# 示例图的邻接表表示
graph = {
    'A': {'B', 'C'},
    'B': {'A', 'D', 'E'},
    'C': {'A', 'F'},
    'D': {'B'},
    'E': {'B', 'F'},
    'F': {'C', 'E'}
}

dfs(graph, 'A')

在这个示例中，我们通过一个图的邻接表`graph`来表示所有节点及其相连的节点。函数`dfs`使用递归来遍历所有的节点，并且使用`visited`集合来记录已经访问过的节点。

#### 2.1.2 广度优先搜索(BFS)

与深度优先搜索不同，广度优先搜索是按层对树或图进行遍历。它从根节点开始，然后检查所有距离为1的节点，之后是所有距离为2的节点，以此类推。

一个简单的BFS的Python代码示例如下：

from collections import deque

def bfs(graph, start):
    visited = set()
    queue = deque([start])
    while queue:
        vertex = queue.popleft()
        if vertex not in visited:
            visited.add(vertex)
            print(vertex)  # 标记节点为已访问
            queue.extend(graph[vertex] - visited)
    return visited

# 同示例图的邻接表表示
bfs(graph, 'A')

在这个代码中，我们使用了队列`deque`来记录下一层节点。从起始节点开始，先访问所有距离为1的节点，然后是距离为2的节点，直到访问完所有可达节点。

### 2.2 二叉树的特殊构造

二叉树是每个节点最多有两个子节点的树结构。在二叉树中，有几种特殊类型的构造，它们各自具有独特的性质。

#### 2.2.1 完全二叉树和满二叉树

完全二叉树是二叉树的一种特殊形态，其中每一层，除了最后一层外，都被完全填满，且所有节点都向左对齐。

满二叉树是指一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大个数，即除了叶子结点外每一个结点都有左右两个子结点，则这个二叉树称为满二叉树。

下面是一个完全二叉树和满二叉树的比较图示：

graph TD;
    A((A)) --- B((B))
    A --- C((C))
    B --- D((D))
    B --- E((E))
    C --- F((F))
    D --- G((G))
    E --- H((H))
    C --- I((I))
    F --- J((J))
    I --- K((K))

在这个mermaid流程图中，我们可以看到节点的填充是按层次从上到下，从左到右进行的。

#### 2.2.2 平衡二叉树(AVL)和红黑树

平衡二叉树是具有自我平衡能力的二叉搜索树。为了保持平衡，AVL树会通过旋转来对树进行调整。

红黑树是一种自平衡二叉查找树，它在每个节点上增加了一个存储位表示节点的颜色，可以是红或黑。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点的颜色进行约束，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍，因而是近似平衡的。

二叉搜索树、AVL树和红黑树的比较代码示例如下：

class TreeNode:
    def __init__(self, x):
        self.val = x
        self.left = None
        self.right = None
        self.height = 1  # 新节点被添加为叶子节点

# AVL树节点旋转
def left_rotate(z):
    y = z.right
    T2 = y.left
    # Perform rotation
    y.left = z
    z.right = T2
    # Update heights
    z.height = 1 + max(height(z.left), height(z.right))
    y.height = 1 + max(height(y.left), height(y.right))
    # Return the new root
    return y

def height(node):
    if not node:
        return 0
    return node.height

# 红黑树插入操作的伪代码
def insert(root, key):
    # 1. 正常的BST插入
    # 2. 获取节点颜色并修复红黑树属性...

### 2.3 树的修改操作

在二叉树的使用中，经常会需要进行插入和删除节点的操作，有时也会需要进行树旋转来维护树的平衡。

#### 2.3.1 插入和删除节点

插入和删除操作是构建和维护树的常用方法。在二叉搜索树中，插入和删除操作需要保持树的有序性。

下面是一个简单的二叉搜索树插入操作的代码示例：

def insert(root, key):
    if root is None:
        return TreeNode(key)
    else:
        if root.val < key:
            root.right = insert(root.right, key)
        else:
            root.left = insert(root.left, key)
        return root

#### 2.3.2 树旋转操作详解

树旋转操作是用于维护AVL树平衡的关键操作。主要有四种旋转操作：左旋、右旋、左右旋和右左旋。

一个AVL树节点的左旋操作的Python代码示例如下：

def left_rotate(z):
    y = z.right
    T2 = y.left
    # Perform rotation
    y.left = z
    z.right = T2
    # Update heights
    z.height = 1 + max(height(z.left), height(z.right))
    y.height = 1 + max(height(y.left), height(y.right))
    # Return the new root
    return y

通过这样的旋转操作，可以确保AVL树在进行插入和删除节点之后依然保持平衡。每种旋转方法都有其特定的应用场景和旋转逻辑。

# 3. 经典树算法题目解析

## 3.1 查找和路径问题

### 3.1.1 最近公共祖先(LCA)问题

在树形结构中，最近公共祖先问题是一个经典且重要的问题。给定一棵树和两个节点，找到它们的最近公共祖先节点，即在树中这两个节点的共同祖先中，最靠近它们的那一个。

例如，考虑以下树结构：

        A
       / \
      B   C
     /|   |\
    D E   F G

对于节点D和E，节点B是它们的最近公共祖先；而对于节点E和F，节点A是它们的最近公共祖先。

**算法实现步骤：**

1. **后序遍历**：从叶子节点开始，递归地向上访问每个节点，标记是否到达两个给定节点之一。
2. **回溯确定**：在回溯过程中，如果当前节点是两个节点之一或者包含两个节点，则更新最近公共祖先。

**代码示例**：

def lowestCommonAncestor(root, p, q):
    def postorder(node):
        if not node or node == p or node == q:
            return node
        left = postorder(node.left)
        right = postorder(node.right)
        if left and right:  # 当前节点在p和q的路径上
            return node
        return left if left else right
    return postorder(root)

# 假设root是树的根节点，p和q是需要查找的两个节点
lca = lowestCommonAncest