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线性代数基础:行列式、特征值与矩阵运算
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更新于2024-08-05
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本资源主要聚焦于线性代数的基础概念,特别是行列式的相关内容。首先,它概述了数学归纳法在矩阵理论中的应用,通过导出递推公式来验证基础性质,例如当n=1时行列式的计算规则。这部分强调了特征值与行列式的关系,即如果矩阵A的特征值分别为λ1, λ2, ..., λn,那么其行列式等于这些特征值的乘积。 接下来,讲解了矩阵初等变换的重要性,包括对调矩阵行(列)、行(列)的缩放以及行(列)之间的加减操作,这些都是理解矩阵性质和求解线性方程组的基础。矩阵等价的概念也被提及,即两个同型矩阵可以通过有限次初等变换达到相同的秩或简化形式。 针对二阶和三阶行列式,资源深入探讨了它们与二元线性方程组的关系,如如何通过行列式的值判断方程组的解的存在性和唯一性。三阶行列式的计算法则也做了介绍,涉及到了交叉相乘和对角线元素的乘积。 章节进一步转向了排列与逆序数的概念,这是理解全排列以及奇偶排列的基础。排列是指n个不同元素的所有可能顺序,逆序数则是衡量排列与标准次序差异的数量。这里还讨论了对换操作如何影响排列的奇偶性,这对于理解行列式的符号规则至关重要。 最后,资源明确了n阶行列式的定义,通过给出一个具体的n×n数表的例子,展示了如何通过不同位置元素的乘积来构造行列式。这些内容都是线性代数入门阶段不可或缺的知识点,对于理解矩阵运算、特征值问题以及解决高阶线性方程组具有重要意义。
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1 琐碎知识点
1.1 数学归纳法在简单情形下的叙述
导出递推公式
检验n=1时结论成立
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▸
1.2 矩阵对应的特征值和矩阵对应的行列式之间的关系
设矩阵 的特征值为 则 , , ⋯ , ,
1
2
|| = ⋯
1
2
1.3 矩阵初等变换
对调矩阵的两行(列)
矩阵的某行(列)乘以非零常数k
矩阵某行(列)的倍数加到另一行(列)
▸
▸
▸
1.4 矩阵等价
是两个同型矩阵, 经过有限次初等变换化为,
1.5 单位矩阵与逆矩阵运算法则
+ = ( +
−1
)
−1
2 二阶与三阶行列式
2.1 二元线性方程组与二阶行列式
{
+ = ,
11
1
12
2
1
+ = .
21
1
22
2
2
= , = , = ,
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22
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2
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11
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= , =
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eke_
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