分数布朗运动下回望期权定价：理论与显式解

本文探讨了"分数布朗运动下的回望期权定价"这一主题，发表于2010年5月的《合肥工业大学学报(自然科学版)》第33卷第5期。作者桑利恒与杜雪糕针对金融工程中的一个特殊类型期权——回望期权，运用了分数布朗运动这一非线性随机过程进行深入研究。 分数布朗运动是一种在金融数学中具有重要意义的随机过程，它扩展了传统的布朗运动理论，其路径依赖性和自相似性使得它在复杂市场环境下更贴近实际。论文首先引入了分数布朗运动的Itô公式，这是一种对于随机微分方程的积分形式，用于处理这种非线性随机过程的数学建模。Itô公式在金融衍生品定价中扮演着核心角色，因为它允许我们从随机过程的运动推导出定价公式的基础。 作者利用Itô公式建立了一个基于分数布朗运动的价格模型，该模型考虑了回望期权的特殊性质，即它的价值取决于过去资产价格的历史路径。通过这个模型，他们推导出了回望期权价格满足的微分方程，这是期权定价的关键步骤，因为它揭示了期权价值随时间变化和标的资产价格变动的关系。 论文的焦点在于求解看跌回望期权和看涨回望期权的定价公式。这两种期权类型的差异主要在于行使条件：看跌回望期权允许持有者在期权有效期内任何时候，只要当前价格低于过去的某个最高价格时执行；而看涨回望期权则相反，允许持有者在任何时候如果当前价格高于过去的最低价格时执行。作者成功地找到了这两种期权的显式解，即具体的数学表达式，这对于实践中的期权定价有着直接的应用价值。 这篇论文不仅深化了分数布朗运动在金融衍生品定价中的应用，而且为理解回望期权这类具有显著路径依赖性的期权提供了重要的理论支持。通过这种方法，金融工程师可以更好地预测和管理风险，提高投资策略的有效性。此外，该研究成果也推动了金融数学领域中对非线性随机过程的理论发展。