"本书深入探讨了图论算法的理论、实现和应用,特别关注在ACM/ICPC竞赛中的实际应用。书中详细介绍了图的基本概念,包括有向网的邻接矩阵表示,以及邻接矩阵的非标准定义,如对角线元素可设置为无穷大。此外,还提到了邻接表作为另一种图的存储方式。全书涵盖图的遍历、活动网络、树与生成树、最短路径、网络流、点集问题、图的连通性和平面图等主题,适合计算机科学及相关专业的教学或ACM/ICPC竞赛的训练。"
在图论中,邻接矩阵是一种常见的图的表示方法,尤其适用于存储有向或无向网。对于无向网,邻接矩阵是对称的,即如果节点i和节点j之间有一条边,则矩阵中的元素Edge[i][j]和Edge[j][i]相同。而对于有向网,邻接矩阵可能不对称,如图1.18所示,如果从节点i到节点j存在一条有向边,且这条边有特定权重w,则邻接矩阵的元素Edge[i][j]等于w,而Edge[j][i]可能是0(表示无边)或不同的值。
在实际应用和ACM/ICPC竞赛中,邻接矩阵的定义可以根据问题需求进行扩展,比如可以将对角线元素设为无穷大,以表示节点自身没有边相连。这样做可能有助于简化某些算法的实现或更方便地处理特定问题。
邻接表是另一种图的存储方式,尤其在处理稀疏图(即边的数量远小于节点数量的平方)时更为高效。邻接表为每个节点维护一个列表,记录所有与其相连的节点及其关联的边信息。这种方式节省了空间,因为不需要为不存在的边分配存储。在遍历图、寻找最短路径等问题上,邻接表往往比邻接矩阵更加实用。
书中详细讲解了图的遍历,包括深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS),这些都是解决图论问题的基础。此外,树与生成树问题,如最小生成树(例如Prim算法和Kruskal算法),在网络中寻找连接所有节点的最小成本路径。最短路径问题,如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法,用于找出节点间的最短距离。网络流问题探讨如何在图中找到最大流量,而点支配集、点覆盖集、点独立集、边覆盖集、边独立集(匹配)等集合问题则涉及图的优化。最后,图的连通性问题关注图中是否存在路径连接所有节点,而平面图与图的着色问题则与图的几何表示和染色策略相关。
这本书不仅适合于高等院校的计算机科学或相关专业的学生作为教材,也是准备ACM/ICPC竞赛选手的重要参考资料,通过实例和算法的实现,帮助读者掌握图论的核心概念和技术。