Tustin法：设计IIR低通滤波器的双线性变换与步骤

本讲义主要关注利用Tustin法设计IIR低通滤波器。Tustin法，也被称为巴特沃斯变换或双线性变换，是一种将连续时间的信号转换到离散时间域的方法，它在数字信号处理中扮演着关键角色。该方法满足四个关键条件：保持频率轴的一一对应关系、保证系统的稳定性、变换的可逆性以及频率响应的特定边界条件。 在设计IIR低通滤波器时，Tustin法的核心在于寻找一个双线性变换关系，确保s平面的实轴（包括jΩ轴）在z平面上映射为单位圆周，并且保证模拟滤波器G(s)的稳定性会映射到数字滤波器H(z)同样稳定。其中，映射关系的具体表达式涉及到ωp（通带边缘频率）、ωs（阻带截止频率）和转换因子αp、αs。通过这个关系，我们可以计算出λp和λs的值，进而根据这些参数来设计模拟滤波器G(P)。 设计过程包括以下步骤： 1. 将模拟滤波器的频率特性G(P)转换到s域的G(s)，这通常涉及到对模拟滤波器函数进行代数变换。 2. 应用双线性变换，将G(s)转换为离散时间域的H(z)。在这个过程中，系数2/Ts会消失，简化了转换公式。 3. 通过给定的ωp和ωs，确定λp和λs的值，然后利用它们来调整滤波器的频率响应，使其符合数字系统的要求。 4. 最终得到的H(z)就是设计好的IIR数字低通滤波器的离散域表示，可以直接用于数字信号处理器中的实现。 总结来说，Tustin法提供了一种有效的方法，将模拟滤波器设计的理论应用于实际的数字系统设计，使得我们在离散时间环境中可以方便地工作，同时保留了连续时间滤波器的重要性能特性。这对于音频、通信和其他依赖于滤波器的数字信号处理应用至关重要。