动态规划深度解析：背包问题九讲

"动归之背包九讲——崔添翼(TianyiCui)，2011年9月修订版，介绍了动态规划在解决背包问题中的应用，包括01背包、完全背包、多重背包、混合背包、二维费用的背包问题、分组的背包问题、有依赖的背包问题、泛化物品以及背包问题的不同问法。" 这篇文章是关于动态规划（动归）在解决背包问题中的深度解析，作者崔添翼于2011年对原有的HTML版本进行了全面修订，使用LATEX重新制作。文章结构清晰，涵盖了多种类型的背包问题及其解决方案。 1. **01背包问题**：这是一种最基本的背包问题，每个物品只有一件，需要决定是否放入背包以最大化价值。基本思路是通过动态规划建立状态转移方程，优化空间复杂度并处理初始化细节，例如使用滚动数组来减小空间需求。 2. **完全背包问题**：与01背包不同，完全背包允许每种物品有无限件。通过转化成01背包问题或直接使用O(VN)的算法，其中V是物品价值的最大值，N是物品数量。 3. **多重背包问题**：每个物品可以有多个，但有限制。可以通过转化为01背包问题或者设计针对可行性的O(VN)算法来解决。 4. **混合背包问题**：结合了01背包、完全背包和多重背包的特点，需要灵活运用动态规划策略进行转换和求解。 5. **二维费用的背包问题**：物品不仅有重量，还有费用，需要考虑两维度的限制。在物品总个数有限制时，需要扩展动态规划的状态表示。 6. **分组的背包问题**：物品被分为若干组，每组内的物品只能全部选取或全部不选取。这种问题需要对组内物品进行整体考虑，构建新的状态转移方程。 7. **有依赖的背包问题**：物品之间存在依赖关系，选取某个物品可能会影响其他物品的选择。这类问题通常需要引入额外的数据结构和算法来处理这些依赖关系。 8. **泛化物品**：物品属性可以是多元化的，不局限于重量和价值。泛化物品的概念使得背包问题的解决方案更具通用性。 9. **背包问题问法的变化**：除了求最大价值外，还可以求输出最优方案、字典序最小的最优方案、方案总数以及次优解和第K优解等，这些变化需要调整动态规划的实现方式。 这篇九讲全面覆盖了背包问题的多个方面，对于理解和解决这类问题提供了深入的见解和实用的技巧，是学习动态规划和背包问题的宝贵资料。