¼¼¼¼nn埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsKJournal of the Egyptian Mathematical Society（2013）21，248原创文章一类高阶有理差分方程A.M. Ahmeda，*，A.M. Youssefba埃及开罗纳斯尔市11884爱资哈尔大学理学院数学系bP.O. Malaz沙特国王大学Arriyadh社区学院自然科学系。地址：沙特阿拉伯利雅得11437收稿日期：2012年12月25日;修订日期：2013年2月12日;接受日期：2013年2013年5月29日在线提供本文得到了下列差分方程的解的表达式方程Xx<$n-2k= 1;n <$0; 1; 2;.n11Pi¼1xn-2i1在初始值x-j，j= 0，1，2，.的条件下，，2k-1，其中k2 {1，2，. . }.数学潜规则分类：39A10、39A22、39A23？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍差分方程作为观测到的演化现象的自然描述出现，因为大多数时间演化变量的测量是离散的，因此这些方程本身就是重要的数学模型。更重要的是，差分方程也出现在微分方程离散方法几个重新-作为微分方程的相应结果的或多或少的自然离散模拟。近年来，非线性差分方程的全局吸引性、有界性、周期性和解的形式的研究引起了人们的极大兴趣。例如，对于这一领域的某些结果Aloqeili[1]得到了差分方程的解X得到了差分方程理论中的一些结果xn1n-1;n0; 1; 2;.. .a-x x*通讯作者。联系电话：+20 1015873200。电子邮件 地址： ahmedelkb@yahoo.com （上午10时） 艾哈迈德），ayous-Cinar[2-sef@ksu.edu.sa，amr_youssef@hotmail.com（上午10点）Youssef）。x¼xn-1;xn1/4xn-1;nn1100万x xn1-1xxxn1axn-1;n0; 1; 2;.1个bx xCinar等人[5]研究了一类差分方程的解及其吸引性1110- 256 X？ 2013制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.04.001制作和主办：Elsevier关键词递归序列周期差分方程的解n-1同行评审由埃及数学学会负责。n-1n-1n-1249联系我们þ-两个每平方米22j¼0每平方米每平方米1/1每平方米1000-1kjk-i1Pa2m1j<$0m<$01000-1kjk-i1Pa2m1j<$0m<$0每平方米每平方米1万1千LPa2m²j¼0每平方米每平方米1kj1Pk-1a2m1x02I，PL-11 kjk-iPk-1a2m11/1j¼0m² 02m² 11/12i-1j¼0m¼k0每平方米m² 02m² 1m² 02m² 1每平方米1kjkPk-1a2m1单位面积limxn：L-1j¼0K-1- 是的1kL1Pk-1a2m1.快看快看2米1！j<$0m<$0K-1j¼0x¼xn-3;n¼ 0; 1; 2;.（五）方程组的平衡点<$x。（1.2）是不稳定的，如果x不是n1-1xnxn-1 xn-2 xn-3局部稳定Elsayed[6]研究了差分方程的动力学xn-52. 差分方程xxn-2k<$11kxn-2i1xnxn-3 xn-5 ;n <$0; 1; 2;.. .1/1Elsayed[7]研究了差分方程的动力学X在本节中，我们给出第一个方程的解的具体形式，x<$N-7;n <$0; 1; 2;.n11xn-1xn-3xn-5xn-7x¼xn-2k1;n <$0; 1; 2;.12：10其他相关论文见[8本文得到n11Pk1/1xn-2i1以下非线性差分方程的解X其中初始值x-j，j= 0，1，2，. ，2k- 1是arbi-特拉里房数字与nPk-1x-2j-1-和 mPk-1x<$n-2k= 1;n <$0; 1; 2;.1：10Kj¼01/4n11Pi¼1xn-2i1x-2i-1使得n，m2 {1，2，3，.. . }.在初始值x-j，j=0，1，定理2.1. 设fxng1n2 k1是方程的解。（2.1节）。 然后2，... . ，2k1，其中k {1，2，. . }.设I是实数的区间，对于n=0、1、2...¼- .1个月后！f：Ik1！ 我x2kn-1 2r11/4a2k-2r-1 Pn-1j¼0m<$02m² 1;1kjr1Pk-1a2m1是一个连续可微函数。对于每一组初始条件x-k，x-k+1，...，x0I，差值方程和r¼ 0; 1; 2;.. . ; k-1;k2：2 μmx¼fx; x;.. . ; x;n<$0; 1;.1：20.一个两米的地方！j¼0n1nn-1n-k个 1x2kn-1 2r2 ¼a2k-2r-2Pn-1m¼0;1kjr1Pk-1a2m有唯一解fxngn <$4-k。定义1. 一个点x'I称为方程的平衡点。（1.2）如果其中x-j每平方米r¼ 0; 1; 2;.. . ; k-1;k2：3kb=a j，j = 0，1，2，. ，2k-1， 哪里 k2 {1，2，... }的情况下，x<$fx<$;x<$;. . . ;x'：其中nPk-1a2i=1- 1也就是说，对于nP0，xn是方程的解。（1.2），或相当于─1/4m2 {1，2，3，.. . }。1/4其实，x是f的一个固定点。定义2. 序列fxng1n 1/4-k被称为周期性的，证据 当n = 0时，结果成立。现在假设我们的假设对n = L> 0成立。也就是说，周期p如果xn+p=xn对于所有nP-k。定义3.x2kL-1\f2 2r1¼a2k-2r-1PL-11kj rPk-1am¼0;1kjPa2m1(i) Eq.的平衡点<$x（1.2）是局部稳定的，如果对于每个e>0，存在d>0使得对于所有x-k，和r¼ 0; 1; 2;. ; k-1;k2：40x-k+1，.. . ，x-1，x02I，.一个两米的地方！jx-k — x< $jjx-k1-x<$j·· ·jx0— x'jd;x2kL-1\f25 2r2 ¼a2k-2r-2PL-1m¼0;1kjr1Pk-1a2m我们有jxn-x<$js对于所有 nP-k：(ii) Eq.的平衡点<$x（1.2）局部渐近-r¼ 0; 1; 2;. ; k-1：102：500现在，它遵循Eqs。（2.1）和（2.4），一PL-1。100kjPk-1a2m1¼2k-1如果x是方程的局部稳定解，则x是局部稳定解。（1.2）和x2kL2千公升-1千公升11μPkx2kL-2iμ 11kj1Pk-a2m11Pkx2kL-1 2k-i1存在c> 0，使得对于所有的x-k，x-k+1，.. . ，x-1，一PL-1。100kjPk-1a2m11/4。.1吨Pkj¼02k-2k-i-1一m²0 mmm¼k0每平方米jx-k-x< $jjx-k<$1-x<$j···jx0-x<$jc;a2 k-1PL-1。1kjPk-1a2m1¼PL-1。1kj1Pk-1a- 是的1Pk.一PL-1。1kjk-iPk-1a2m1Limxn1/4×：a2 k-1PL-1。1kjPk-1a2m1！1n¼PL-1。1kj1Pk-1a- 是的1μPk-1aPL-1。100kjPk-1a2m1(iii) Eq.的平衡点<$x（1.2）是全局吸引子，如果a2k-1PL-11kjPk-1a2m1¼PL-1。1kj1Pk-1aj¼0- 是的1Pk-1a2m1Σ每平方米-k -k+1-10个100kL Pka2m²a2k-1PL-11kjPk-1a2m1你好！1(iv) Eq.的平衡点<$x（1.2）全局不对称Pj¼0 1kj1Pm¼0a2m1PL.1kjPk-1a2m1k-m<$0m<$0¼a2k-1PL.1kj1Pk-1a：全局稳定，如果Nx是局部稳定的，并且Nx也是全局稳定的。Eq的吸引子（1.2）。n-11/1j<$0m<$0X2k-1j¼0我们有j¼0j¼0对于所有x得双曲余切值.、.....的问题。.得双曲余切值.得双曲余切值.2、我们有m² 02m² 1¼250A.M. Ahmed，A.M.Youssefj¼0因此，我们有m² 02m² 1251每平方米1/11000-1kjk-i1000Pa2m.j<$0m<$01万1千LP的2m2k-4r-1.j¼0每平方米第1页K21¼KPjxj x <$：证据 当n = 0时，结果成立。 现在假设我们的假设对n = L> 0成立。也就是说，因此，Eq的唯一平衡点。（2.1）x=0。 H定理2.3. 假设的的初始值x，x2kL-1\f2 4r1了2k4r1.-1个Pj/1a2j - 1个P j/1 a 2 j-1个P j/1 aK;r1;r2;... ; 2 - 1;-2k+1x=2k+2，. . ，x0[0， ），则方程的平衡点x<$0。（2.1）局部稳定。x2kL-1 4r2了2k4r2.-1个Pj¼1a2j-2个P jK;r1;r2;... （二） -1;证据设e>0，且fxg1这是一个Eq。（2.1）x1/4a.-1PkaL;r¼ 0; 1; 2;. k-1;使得0j½ 2k-1- -nn¼-2k12kL-1 4r32k-4r-3j12j-12.Lk第1页20x<1/4x-2k16x-2k6<$2k-6<$2k-6;第1页- -一种Lk-2-1\f25Pi¼1xi6-1\f25x4x2 Pa2 j-2-1\f25Pj<$1a2 j-20a2k 2KLj12j-2-1a2j-2战斗机-1a2j-2战斗机¼ð-1þPj¼1a2j- 2Þ·-1Paa2k-1a2k-1j12j-2x-1Pka2j-1-1\f25Pka2j-1\f6a2k-2x2千分之1¼KLLK-1a-1P¼¼254A.M. Ahmed，A.M.Youssef- -KK1/1n¼-2 k1形式{a 2k-1，a 2k-2，. ，a 0} 当且仅当<$a2k-4-1Pj<$1a 2j-2：KK第1页2j-1第1页2j-2第1页-第1页-kK-1P1x2k-2i1第1页-100x1x3... x2k-1第1页-1000000-1000000-100000-1000000-1000000 一个3的11/4升：-1\f25Pj-1\f6 1a2j-1\f6K¼2551/11/4a2k-1/4x-2k1：1Pk第1页256A.M. Ahmed，A.M.Youssefa2j-1257.-1第1页第1页KKKKKK第1页KK第1页3-1a2j-1L2k-3j12j-12K-42j-2-1a2j-2L1¼Pka2j-2j12j-1j12j-2第1页j12j-1j12j-22K-8j12j-2-1P一-1P一PΣ类似地，可以容易地获得等式的其他关系。（3.3）。也就是说，从Eq。（3.1）258A.M. Ahmed，A.M.Youssef类似地，我们可以很容易地证明xn+4 k=xn，其中n为P2590。至此，证明完成。H260A.M. Ahmed，A.M.Youssef一.-1PkaLx2kL×3x2千公升-1公升 3-1Px¼-1x2k-3Xj12j-1X... X定理 3.3. 当量 （3.1） 具有 两 平衡 点即0;k2.a2k-3¼KLj12j-1261-1a.-1PkaA... .一.-1PkaL262A.M. Ahmed，A.M.Youssef证据从等式（3.1）我们可以写a2k-3¼2631PKA第1页Pka2j-1L1/4a2k-3264A.M. Ahmed，A.M.Youssef.-1Pka2j-1第一条：x¯联系我们265-1第1页266A.M. Ahmed，A.M.Youssef-1\f25Pj-1\f6 1a2j-1\f6-1千美元267类似地，可以容易地获得等式的其他关系。（3.4）。也就是说，从Eq。（3.1）
