埃及数学学会：混合单调性质的半序完备渐近正则度量空间中n重不动点的定理

埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，440完备渐近正则度量空间中n重不动点的结果Anupam Sharma*数学系，Aligarh穆斯林大学，Aligarh 202 002，印度接收日期：2013年7月23日;修订日期：2013年8月29日;接受日期：2013年2013年11月15日在线发布n重不动点的概念是由Imdad，Soliman，Choudhury和Das，Jour提出的。of Operators，Vol.2013，Article ID 532867.本文证明了半序完备渐近正则度量空间中具有混合单调性质的映射的n重不动点定理（对偶数n）。我们的主要定理改进了Imdad，Sharma和Rao（M. Imdad，A.夏 尔马 ， K.P.R. Rao ， Generalized n-tupled fixed point theorems for nonlinear contractions ，preprint）.2010年数学子类分类：47时10分; 54时10分; 54时25分？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 引言和附录Banach压缩原理是不动点理论最自然、最重要的结果。它已成为非线性分析中最基本和最有力的工具之一，因为它广泛应用于物理和生物过程中产生的非线性方程，以确保解的存在性和唯一性。它被广泛认为是度量不动点理论的来源。此外，它的重要性还在于它在数学的许多分支中具有广泛的适用性。上述原则的推广一直是一个*电话：+91 8909460011。电子邮件地址：annusharma241@gmail.com同行评审由埃及数学学会负责数学重要分支。偏序度量空间中压缩型映象不动点的存在性及其应用已被许多作者所研究。关于这一主题已经有大量的文献，但鉴于本文的相关性，我们仅参考 [1在[6]中，Bhaskar和Lakshmikantham引入了耦合不动点的概念，并证明了一些耦合不动点半序完备度量空间中的点定理. 后来Lakshmikantham和C'iric'[17]通过定义g-单调性质推广了这些结果，从而推广了[6]中相应的不动点定理。此后Berinde和Borcut[8]引入了三重不动点的概念并证明了一些相关定理。最近，Imdad等人[14]引入了n元组重合和n元组不动点（对于偶数n）的概念，并利用这两个定义来获得n元组重合1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.09.002制作和主办：Elsevier关键词偏序集;度量空间;渐近正则序列;混合单调性;n-元组不动点完全渐近n重不动点的结果441≤≥2≤≤2222···K≤≤≥2K≥2212212122以及非线性系统的n重公共不动点定理/-压缩映射。更多详情，请参阅[9，11，23，25]。最近，Soliman等[31]证明了半序完备渐近正则度量空间中非线性l-压缩映射的n本文给出了半序完备渐近正则度量空间中非线性压缩映射的一些n重相合性和不动点结果。我们的结果推广和改进了Imdad等人[15]的结果。像往常一样，这一节将致力于预备，其中包括一些基本定义和结果有关的耦合不动点在度量空间。从现在起，（X，，d）是一个偏序完备度量空间。此外，乘积空间X·X具有以下部分顺序：u;v我们在下面总结了文[6，8]中建立的基本概念和结果。定义1[6]。设（X，）是一个偏序集，F：X·Xfix是一个映射。则称F具有混合单调性，如果对任意x，y X，F（x，y）第一个变元单调非减，第二个变元单调非增，即，x1;x22 X;x1≤x2） F<$ x1; y<$≤ F<$ x2; y<$y1;y22X;y1≤y2）F<$x;y1<$≥F<$x;y2<$：定义2[6]。一个元素（x，y）X·X称为映射F：X·Xfix的耦合不动点，如果Fx;yx和Fy;xy：Bhaskar和Lakshmikan-tham[6]的主要理论结果是下列两个耦合不动点定理。定理1.设（X，≤）是一个偏序集，并假设如果存在x0，y 02X等的x0≤F（x0，y0）且y0F（y0，x0），则存在x，yX使得F（x，y）=x且F（y，x）= y.最近，Berinde和Borcut[8]在乘积空间X·X·X上引入了以下偏序：u;v;w8x;y;z;u;v; w 2X×X×X：定义3[8]。设（X，）是一个偏序集，F：X·X·X fix是一个映射。则称F具有混合单调性，如果F的第一、第三变元单调不减，第二变元单调不增，即对任意x，y，z2Xx;x2X;x≤x）Fx;y;z≤Fx;y;zy1;y22X;y1≤y2）Fx;y1;z≥Fx;y2;zz1;z22X;z1≤z2）Fx;y;z1≤Fx;y;z2：定 义 4[8] 。 元 素 （ x ， y ， z ） X· X·X 称 为 映 射 F ：X·X·Xfix的三重不动点，如果F（x，y，z）= x，F（y，x，y）= y且F（z，y，x）= z。受耦合不动点结果的启发，Karapinar [16]引入了四重不动点的概念，并在偏序度量空间中证明了一些相关的不动点定理。定义5[16]。元素（x，y，z，w）X·X·X·X称为映射F的四重不动点：X·X·X·X·fix如果F（x，y，z，w）=x，F（y，z，w，x）= y，F（z，w，x，y）=z和F（w，x，y，z）=w。以下n-不动点的概念是由Gordji和Ramezani[12]引入的。 设乘积空间Xn=X·X·X（n次）具有如下偏序，其中n是正整数（奇数或偶数）：（x1，x2，. ，xn），（y1，y2，. ，y n）2 X n.Σ ΣΣ存在X上的度量d使得（X，d）是完备度量空间设F：X· X fix是一个连续映射，X上的混合单调性 假设存在k2 [0，1），d<$F<$x;y<$;F<$u ;v<$62½d<$x;u< $d<$y;v<$]对于每个x≥u且y≤v：若存在x0，y02X使得x0≤F（x0，y0）且y0 F（y0，x0），则存在x，yX使得F（x，y）=x且F（y，x）= y.定理2. 设（X，）是一个偏序集，且X上存在一个度量d，使得（X，d）是一个完备度量空间.假设X具有以下性质：(i) 如果非减序列{xn}fix，则xn x对所有n;(ii) 如果非增序列{y n} fy，则y ny对所有n。设F：X·Xfix是X上具有混合单色调性质的映射.假设存在k[0，1），d<$F<$x;y<$;F<$u ;v<$62½d<$x;u< $d<$y;v<$]对于每个x≥u且y≤v：x1; x2;. ; x n≤ y1; y2;. ; y n（）x2 i-1≤ y2 i-18i 2 1; 2;... ; n 1x1; x2;. ; x n≤ y1; y2;. ; y n（）x2 i≥ y2 i8i 2n1; 2;. ;hnio：定义6[12]。 元素（x1，x2，.. . ，xn）Xn称为映射F的n个不动点：Xnfix，如果xi¼Fxi;xi-1;.. . ;x2;x1;x2;. . . ;xn-i18i2f1;2;. . . ;ng：备注1. n重不动点的概念是由Imdad等人[14]给出的，它与Gordji和Ramezani[12]的概念有很大的不同。下一节将给出n重不动点的详细版本最近，Soliman等[31]证明了完备渐近正则度量空间中n重重合点的结果，并称之为广义完备度量空间。与我们的脚本相关的更多定义如下：定义7.设（X，d）是度量空间.则称X中的序列{xn}是柯西的 ， 如 果 limn;m ！ 对 于 所 有 n;m2N ，1dxn;xm0。442A. Sharma11 22Nn00>x 2≥ F x 2; x 3;.. . ; x n;x 1x 3≤ F x 3;. ; x n; x 1; x2>。61122Nn度量空间（X，d）称为完备的，如果每个柯西序列收敛。定义8. 度量空间（X，d）中的序列{xn}称为渐近正则的，如果limnfi1d（xn+1，xn） =0。每个柯西序列都是渐近正则的，但在度量空间中反之未必成立例1. 设X^R和d（x，y） =x-y，对所有x，y2X.一个映射使得F在X上具有混合单调性假设对于所有的x1，x 2，.. . ，xn，y1，y2，. . ，yn2 X，其中x1≥ y1，x2≤ y2，x3≥ y3，. . ，xn≤yn，w d Fx1;x2;.. . ;xn= 1;F = y1;y2;. . . ;yn1nwaveludx;ywaveludx;ywavelet. d-/dx;ydx;y··dx;y;2：3其中/2U和w2W。 假设存在然后{x}在 X 定义为xPn1 是渐近x1;x2;x3;. ;xn2X，使得00000n n¼千分之一000 0.Σ正则但不是柯西8>x1≤Fx1;x2;x3;. . ;xn>。Σ第九章. 度量空间称为完备渐近空间<>0。Σ正则的如果Xcon-0中的每个渐近正则序列{xn}趋近于X中的.0 000设U表示满足以下条件的所有函数f的集合：[0，1）f[0，1）>：xn≥F. xn;x1;x2;. . . ;xn-1：对于所有r > 0和limt，求出limtfir/（t）>0！0/t¼0. 设W00完全渐近n重不动点的结果4430 000 0444A. Sharma123NΣ.Σ.1.3位置参数和在其偶数位置的非增121212>对于所有x2;x22X;x2≤x2）F.x1;x2;x3;. ;xn<$≥F<$x1;x2;x3;. ;xn对于所有x3; x32 X; x3≤ x3）F x1; x2;x3;. ;xn≤F<$x; x; x;. ;x我们构造序列x1;x2;x3... . ;xn在X.>。121212如下所示MMMM定义11[14]。 元素（x1，x2，.. . ，xn）2Xn称为x3¼F x3;......的人。;xn;x1;x2x3≤x3≤x3≤···≤x3≤x≤···完备渐近正则度量空间设F：Xn fix为.2Σ2M>012>> >012MM表示满足以下条件的所有函数w：[0，1）fi[0，1）的集合：(i) w（t）=0完全渐近n重不动点的结果445当且仅当t=0，(ii) w是连续的且非递减的，(iii) w（s+t）446A. Sharma0126w（s）+w（t）对于所有s，t2[0，1）.典型函数f和w的例子在[19]中给出。完全渐近n重不动点的结果447≥0000.nx 3≤ F x 3;. ; x n; x 1; x200000M-1M000>。Σ00假设，(a) F是连续的，或(b) X具有以下性448A. Sharma质：(i)如果非递减序列{xm对所有完全渐近n重不动点的结果449mP 0;}fix，则xm≤x450A. Sharma2. 主要结果在本文中，我们使用了新的定义的n-元组固定完全渐近n重不动点的结果451点和混合单调性质，由Imdad等人给出。[14]第10段。在整个论文中，n代表一般的甚至自然的452A. Sharmanumber. 在续集中，我们有以下定义：(ii)如果非递增序列{xm}fix，则xm x完全渐近n重不动点的结果453对于所有的mP0，则存在x 1，x 2，.. . ，xn2X，使得454A. SharmaF x 1; x 2;.. . ; x n1; F 2;. ; x n; x 1± 1 × 2;.. . ;F x n; x 1;.. . ; x n-1¼ x n：完全渐近n重不动点的结果455证据 设x1;x2;x3;.. . ;xn在X中，使得000 0456A. Sharma定义10[14]。 设（X，≤）是一个偏序集，F：8>x1≤F。x1;x2;x3;. . . ;xn完全渐近n重不动点的结果457Xnfix是一个映射。映射F被称为具有458A. Sharma混合单调性若F在其奇完全渐近n重不动点的结果459>x2≥ F x2; x3;.. . ; x n; x1