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--123C312a-a Ca-a- - -一种1a1a2za1a11a2a2 1z2þ þ···ð Þ112321一个3埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society(2012)20,72原创文章2F1超几何级数的连续关系Adel K. 易卜拉欣苏伊士运河大学理学院数学系,埃及2010年5月15日收到; 2010年2012年9月29日在线发布如果两个高斯函数除了一对参数外是相同的,并且这两个参数相差1,则称它们是邻接的。连续关系在扩充函数的数值表中有很大的用处。在本文中,我们将介绍一种新的方法来计算这种类型的关系。2012年埃及数学学会。制作和主办:Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍超几何级数的研究是由欧拉、高斯和黎曼在许多年前发起的;这些级数是相当多研究的主题。超几何级数有一个很难理解的符号,需要花点时间去适应.1812年,高斯向英国皇家科学学会提交了在哥廷根,他的著名论文(高斯,1813年),其中他考虑了无穷级数Re(a3a1a2)>0,给出了它的(相邻的)递推关系,并导出了他著名的公式Fa;a;a;1 Ca3Ca3-a1-a2;Rea-a -a>0 23 1 32当z=1且Re(a3-a1-a2)>0时,求其级数的和.虽然高斯用符号F(a1,a2,a3,z)来表示他的级数,但现在习惯上使用F[a1,a2;a3;z]或以下任何一种的符号Fa;a;a;z;Fa1;a2;z31·a31·2·a3a31a1a11a12a2a2a22z311·2·3·a3a31a3 2作为a1,a2,a3,z的函数,其中假设a3,0,1,2,,使没有零因素出现在denominator的条款的系列。他证明了级数收敛 绝对 为2001年, 和 为1=1 当电子邮件地址:adlkhalil@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责。制作和主办:Elsevier对于系列(以及收敛时的总和),因为这些符号将分子参数a1、a2与分母参数a3和变量z分开。鉴于高斯的论文,他的然而,由于特殊情况a1=1,a2=a3产生几何级数1zz2z3···4高斯级数也被称为(普通)超几何级数或高斯超几何级数。有关超几何级数及其邻接关系的更多详细信息,请参见[1具有相同自变量z的两个超几何函数是连续的,如果它们的参数a1,a2和a3相差整数。高斯导出了2F1[a1,a2;a3;z]1110- 256 X? 2012埃及数学学会。制作和主办:Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.08.005关键词超几何函数;邻接关系;插值22F1超几何级数的连续关系73我的1一个2一个3K我21/4A3我我1231123A ¼AI以及任何两个相邻的超几何,其中一个参数改变了±1。Rainville[5]将其推广到具有更多参数的情况。邻接关系的应用范围从超几何级数的求值到这类级数的求和公式和变换公式的推导,它们可以用来求值一个超几何函数,该函数与一个能令人满意地求值的超几何级数邻接。连续关系也被用来建立李代数和特殊函数之间的对应关系。相应地给出了特殊函数的计算公式[6]。2F1[a1,a2;a3;z]超几何级数的15 Gauss连续关系意味着任何三个2F1[a1,a2;a3;z]级数,其相应的参数相差整数,是线性相关的(在参数中的有理函数域上).在[7]中,证明了这些一般邻接关系的系数的几个性质,然后用于提出计算邻接关系的有效方法在[8]中,利用邻接关系建立并证明了高斯超几何函数与幂之间的尖锐关系,并且为了符号的简单性,让我们引入以下定义:定义1. 让A ai:X! X,(i = 1,2,3),其中X是具有变量z的所有高斯函数2F1[a1,a2;a3;z]的集合,参数a1,a2和a3使得a3n0,-1,-2,. . 那么,A1C½a1;a2;a3]2F1½a1;a2;a3;z]1;2;3;4;5; 6; 7;8; 9; 10;11;12;13;14;15; 16; 17; 18;19A2C 1/2a1;a2;a3]2F1/2a1;a2;a3;z]1;2;3;4; 5;6; 7; 8;9; 10;11;12;13; 14; 15;16; 17; 18; 19; 1A3-[C 1/2a1;a2;a3]2F1/2a1;a2;a3;z] O1;2;3;4; 5;6;7;8; 9; 10; 11;12;13; 14;15; 16;17; 18; 19其中ai,i=1,2,3是任意整数,C[a1,a2,a3]是a1,a2和a3的任意常数函数,使得对于任何这样的算子,意思这些结果推广了已知的不等式,完全椭圆积分和超几何平均。更AaiA-aiC½a;a;a]F½a;a;a;z]关于邻接关系及其应用的细节可以在[9本文推广了文[15]中的结果,证明了2F1[a1,a2;a3;z]超几何函数的相邻函数之间的不同恒等式. 我们将推广定理1.1的方法。 [17]《易经》云:“君子之道,焉可诬也?有始有卒者,其惟圣人乎!这种方法在邻接关系的计算和应用中是有用的。本文的组织如下:在第2节中,我们介绍了我们的计算方法;在第3节中,我们介绍了我们的计算方法。[1][2][3][2][3 ][4][5][6][7][8][9]I是定义在X上的恒等算子,I[C] 1/2a1;a2;a3]2F1/2a1;a2;a3;z] N[I[C] 1/2a1;a2;a3]2F1/ 2a1;a2;a3;z] N1;2;3;4; 5; 6; 7;8;9; 10; 11;12;13;14;15; 16; 17; 18;19我们有以下定理:定理2. 设Aai;i¼ 1; 2; 3,且I定义为在第2节中,我们推广了我们在第2节中定义的算子,而在第4节中,我们使用Mathematica来展示我们的主定理在推导连续函数关系以及获得它们的任何结果方面的帮助。(1),则-1a13a3-1a3-a1 -1;aa3-1–A-1a1z-1A að9Þ2. 计算2a2 — 一个3a2-a3高斯定义为连续的2F1[a1, a2;a3;z]六A-1a1z-1A2a13ð10Þ通过增加或减少其中一个函数获得的函数统一参数[16,pp. 555-566]。因此2F1[a1,a2;a3;z]1的1— 一个3a1-a3与这六个功能2F1½a11;a2;a3;z];2F1½a1;a21;a3;z] 和2F1½a1;a2;a3的1A2 ¼a A1a2-a1一个2I;一个21;z]Gauss证明了在2F1[a1,a2;a3;z]和任意两个a1a3z-1 za1-a3 za3-a2z-a3-a2 -z-a1-I;–Z它的连续函数,存在一个线性关系,系数,在z中至多为线性的函数。这些关系在扩展函数的数值表时非常有用,因为对于一个z的固定值,只需计算a1-a31 3 2 3ð12Þ在两个单位a1,a2和a3上的函数,并应用一些递归关系,以找到函数值,证据1.为了证明(8),从方程。[15][16][17][19]a1=a2=a3=0,a1,a2和a3的大范围值,z平面。任意三个相邻的I- A-1-a2zA AAF½a;a;a;z]¼0超几何函数可以通过线性组合高斯连续关系的序列来找到。在本节中,我们将介绍我们的计算方法1a3即一个22321123我们将能够证明任何类型的连续A1 1/4A2 A3 13121312313一74A.K. 易卜拉欣333AA2þ Ið ÞII¼I阿格拉þ1Þ123×我12223a2z113一223aa-1123A ¼AA ¼AI2现在使用[15]的(47),并且a1=a2=a3=0,我们将有利用定理(2)的公式(9),我们得到L:H:S:1/2a1a2-a3I-a11-zA1a3-a2I -Aa1a22—zA A A ¼ 0. a1赫兹-1赫兹一一a1a2-a3一一332- 3二、三应用A-1 对于双方来说,这是一个3- 1,我们将有差值-1 联系我们a1a2zAAA 14333. 一般形式在这一节中,我们给出算子A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11, A12,A13,A14,A15,A16,A17,A18,A19从(13)和(14)中去掉A1A2A3,得(8).现在使用(13)上的对称性,[注释13.在 定 义 ( 1) 中 给 出 换句 话 说 , 我 们 将 把 形 式 2F1[a1+n,a2; a3; z]、2F1 [a1,a2+n; a3; z]和2F1 [a1,a2; a3+n; z]的任何移位减少到仅仅2F1 [a1+1,a2; a3; z],即我们将减少形式An2F1; An2F1的所有移位的1A2 ¼IazA1 A2 A3 15由此通过消除A1A2A3来求解(13)和(15),和n2F1到形式12F1,这使我们能够证明具有一个以上移位参数的连续关系。在下面的例子中,我们表示A 2; A 2 A2在公式(11)成立。此外,应用A A在(13)的两侧,即运营商A1。1 2 3(a2fia2+1和a3fia3+1),则实施例4. 为了用算子A1表示A2、A2和A2,的1A2 ¼a A1 A2A3Aa3-a1一A2 A3161 2 3从(10),我们有a a3121121从(13)A ¼I差值-1a1赫兹-1赫兹3a1赫兹-1赫兹A1A2A31/4azA1-I17A或等效地两边都涂上A1,A2¼a3a1 -a2 1z - 2a1 1AA A ¼a3I-A-118现在,使用(11)、(17)和(18),公式(10)成立。通过相同的方法,公式(9)和(12)可以成立。 H虽然高斯关系可以通过在z中展开各种幂级数来证明,并始终使zn的系数相等,但将这些关系改写为相应的算子形式可以通过使用定理(2).a1a-a1a1对于A2,求解(9)和(11),我们将有a2-a3-1a2-a1z-1-a1 a2-a3a2z-1a2z-1在两面涂上A2,2a3a21 -a 1z - 2a2 122定理(2),可以在证明几种类型的相邻关系,如:1. 所有的15高斯连续关系。2. 在函数恒等式中,a2a2201-a320a2现在使用(11)消除A2,我们得到功能,[16]。2a3a21 -a 1z - 2a21a 12a2-a13. 具有连续邻居的递归恒等式,其中它的一个相邻函数中的一个参数被移位A2 ¼E2 1aA1型a±1,而一个参数在其另一个相邻的功能 是 移位 ±2(07.23.17.0001.01-07.23.17.[17]。a21-a3a2即A2 1/4a 11/2 a 3 - 2 a 2 - 2 a 2 - a 1 1 z]A222aa 1z - 1实施例3.为了证明高斯关系[a]1a2-a32F1½a1;a2;a3;z] -a11-z2F1½a11;a2;a3;z]a3-a22F1½a1;a2-1;a3;z]¼0其可以以运算符形式重写为-1[2019-03-2301:00][2019- 03 - 23 01:00][2019- 03- 1101:00][2019 - 03- 01:00][2019 - 01:00]a2a21z - 1同样,从(8)和(12)消除A1,我们得到a3½a3-1a1a2-2a31z]a3-a2a1 -a3za333A1英寸2F1¼0 ¼R:H:S:3þ我19岁3311113一2F1超几何级数的连续关系751/2a1 a2-a3I-a11-zA 1a3-a2A2]2F1 ¼ 0a3-a276A.K. 易卜拉欣111þ Ið Þ一II-A Aa22253A3 ¼-1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000002我2伊贾一22123A3 2011年12月31日中国1E2-2a3-100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000400一辆a540 0k3a1;a2;a3;z5131332322Aa13Da: <$Da;a;a <$40Aa534531A ¼A6700 0ka;a;aa; z1将A3涂抹在两侧,然后22Aa0 032Ai322 Aia3[西班牙语]拉瓜1-一个-一个DaXi¼640Aa07564Ai751/464AiA iA751/4XiA一个3一个3a3a31z - 121a3-a2和2A 10 032k1a1;a2;a3;z 0 03再次从(12),我们可以重写(21)为2D K ¼6 0一辆a7630ka;a;a;z 07A3 ¼a3-a22kaa;a;a;z 0 031312×。a1a3z-1A-a3½a3-a2z-a1]I13321332<$60k2a1;a2a;a3;z07 <$Kaa-a— 阿斯塔兹a-a— a刚果4 5a3a31z - 1a3-a2简化,我们得到最后,D aKX i D aK Da X iKa Xia31232a1a3a31z-1½a3-2a3-a1-a21z]a-a下面的引理使我们能够将任何移位算子Ai的n次幂表示为以下递归关系:a3a311a1-a3-a2za3-2a3-a1-a21za1-a3a 3-a2z-1z]a1-a3a1-a3- 1 a3-a2a3-a21z2ð22Þ在最后一个例子中得到的结果可以很容易地用来验证"连续邻居“的递归恒等式1/2a2-a3/1a 1/2a2-a3/2a1-a2-1a]A222为了简化符号,让我们引入以下定义:(n- 1)次和(n- 2)次幂。引理6.设1、2和3为运算符,定义如下定义(1),Xn¼Kn-1Xn-1 Tn-1Xn-2;8n2Z24其中Xn如(28)中所定义,且Kn<$$> DnK0和Tn<$DnT0哪里a3-2a1a1-a2za1z-1第五章. 设A1、A2和A3为定义13K0¼60a3-2a2a2-a1z07(1),则我们将移位矩阵算子Da;a;a定义为64100a 2002年至1007年5月Da1;a2;a3 ¼640Aa20753和a1-a30 0 Aa3a1100-100 0302- 30对于所有的ai2Z;i 1/4 1; 2; 3.此外,对于任意3阶对角矩阵K一一1/4a2z-10 0a3a3-1 z-1a3-a2a1-a3z26k1a1;a2;a3;z0037证据2. 应用算子An-2;An-2n-2 上K¼40k2a1;a2;a3;z 00 0k3a1;a2;a3;z1 2 3(19)-其中k(a,a;a;z),i=1,2,3是z的函数,Ana3a1n-a2 -1z - 2a1n - 1An-111我12 3a1变量a1,a2和a3,我们会得到a-1 -a13α-213212Aa1ka;a;a;z 0 032a1D a 1; a 2; a 3K ¼ 6 40 Aa2k2a1;a2;a3;z00 0 Aa3k3a1;a2;a3;z2k1a1a1;a2;a3;z0 03Ana3a2n-a1 -1z - 2a1n - 1An-122¼640k2a1;a2a2;a3;z075a20 0k3a1;a2;a3a3;za2n-1-a3n-2作为特例,如果1=a2 =a3 =a,我们使用符号þða2þn-1Þðz-1ÞA22Aa0 0320na3n-1a3n-2a1a2-2a3-2n3z]a3n-1617A3 ¼ A30 0 Aaa3n-13an - 1-aa-a— n1zA3使得3 2 1 3一32130 0A300 a31/2a3-1a1a2-2a31a]a3-a2 a1-a31a 1a1100的t0752F1超几何级数的连续关系777602A Aa4545n11n145X¼64A7528n一nXn¼ Dn-1B6a1赫兹-1赫兹0a3-2a2a2-a1za2z-17CXn-145164一个2a3½a1-a3-a2z]75a3-a213B6457Ca3-a3-a1-a3-a2-z]1/2a3-a1-a2- 1-z]1-a3-a3- a2-a 1-z]1 -a3-a3-a2-a 1-z]1-a3-a3-a2-a3-a3-a 2- a2-a1-a 2-a 2-a-2-a-2-B@64aa-1z-175CA64A275¼67A1一个3中国1-a3-1中国1-a3中国3-a2中国3-a2中国1中国2K-1K-1K-17233313245323KK1K1或者,以矩阵形式1203213的12An3n2a3a1n-a2-1z-2a1n-1a10L0¼64075;L1¼6a27;6A 7¼ 630a3a2n-a1-1z-2a2n-10004a1a3 z-1 54An564[2019-03-25 12:00:00]a1-a3a3a11-a2z-2a112n-132a1n-1-a30032n-2371/4a1/2a3-2a2-2 a1/2a 2-a1/2a2A1a1n-1z-1的1a2a21z-1×6An-1760a2n-1-a3076An-27a1a3z-1za31½a3a1a2-2a3-1z]6276a27627中国1-a3-1中国1-a3中国3-a2中国3-a2中国1中国24An-15400a3n-1a3n-2 z-154An-253也就是说,02a3-2a1a1-a2za30 0310和M21321/4 6 1 7; 男 ¼610a2-a17;B@640 0a3½a3-1a1a2-2a3-2n 1z]75CAa z100a1-a32a-a13a1-a31个月D.D.n-10a2-a3a2z-10Xn-2a16a2-a1½a3-2a2-2a2-a11z]a2a2-a317B6 7CM2¼6a2a21z-170033a3-a2其可重写为形式Xn<$Dn-1<$K0<$Xn-1<$Dn-1<$T0 <$Xn-2或Xn¼Kn-1Xn-1Tn-1Xn-225这就是引理的证明H现在,为了得到下一个引理,让我们用矩阵形式重新表述前面的结果身份的使用(11)和公式(12)产生以下矩阵方程:ð30Þ下一个引理将处理任何移位算子Ai; i1; 2; 3的n次幂n2Z,作为算子A1和I的递归关系。引理7.设1、2和3为运算符,定义如下定义(1),Xn<$LnA1Mn I;8n 2Z31其中Xn定义为(28),8n 2Z,我们有2A13213203Ln<$Kn-1Ln-1Ln-2;nP0 3264A75¼6a1一个37A106a2-a17I: ¼LA乌姆里奇岛Mn <$Kn-1Mn-1Mn-22a21a1a3z-1a1-a3 za3-a2 z一个2a3½a1-a3-a2z]a1-a3a3-a2z111和Ln<$T-1½Ln2-Kn1Ln1];9>=此外,从19,20和22;n0 33<2A23262a3a11-a2z-2a11阿马尼亚1-1-1-7a1½a3-2a2-2a2-a11z]a2a21z-11 333123Mn<$T-1½Mn<$2-Kn<$1Mn<$1]>;此外,对于n = 0,1,2,Ln和Mn如(29)中所定义2aaz-1a1½aaa-2a-1z]a1-a31a1[2019-03-2201:00][2019-03-01:00][2019 - 01:00]a2a21z-1(30)和Kn,Tn定义为引理(6)证据3. 例(3)的结果给出了n = 0,1,2时引理的证明.使用数学归纳法,假设月7a3a311223 2 3 12 3121 2 31 33 2 21 2 1 22 1 21 2 2中国1-a3-1中国1-a3中国3-a2中国3-a2中国1中国2X¼LAMI和X¼LAMI;kI:1/4L2 A1μM2I从中ð26Þ1/4; 2;.由引理(6),我们有Xn<$LnA1Mn I;n <$0; 1; 227哪里n1n2一个3和L,M,n=0,1,2是给定的三维向量Xk1<$KkXkTkXk-1¼K kLk A1MkT kLk-1 A1Mk-1¼ ðKk Lk þTk Lk-1 ÞA1 þ ðKk Mk þTk Mk-1 ÞIl由此得出结论,Xn<$LnA1Mn I;8n 2Z2a3a10003L45þ678A.K. 易卜拉欣n n在哪里2F1超几何级数的连续关系79..J我A¼一一2¼一. ...一. ...1一. ...2X一个k一个ka我X=Xdk1/4。M. ; k 1; 2; 3;.100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001KK我我我>>的;>>的;....X..Lk1<$KkLkTkLk-1;Mk1<$KkMkTkMk-1Σð34Þ求解dk,可以有l1ak1l1ak2这就完成了引理的证明 H1ak1M1ak2我们可以很容易地证明,(34),可以分为积极的和取代(38),我们得到如(32和33)中的阴性情况。我JX3 ..L1ak1l1 ak2.ak前两个引理断言存在唯一的Aa; Ab;i;j <$1; 2; 3和a;b2Z的表示k¼1. m1ak1m1ak2 .的12F1½a1;a2;a3;z]¼0对于系数为lia,mia和ljb的算子A1和I,mjb是向量La的第i个和第j个元素,Ma和Lb,Mb,Ai <$lijA1mij I;i <$1; 2; 3;j2Z35因此,组合Aa和Ab它可以写成行列式形式,如(38),完成了证明。 H对于α2和α3中的位移,可以很容易地得到类似的公式. 下一个推论推广了定理(8).I j是独一无二的.我们工作的技巧主要取决于高斯函数上(8)下面的定理给出了三个高斯函数之间关系的一般形式:2F1½a1a1;a2;a3;z];2F1½a1[a2;a2;a3;z] 和2F1½a1a3;a2;a3;z]36定理8. 设aiZ;i1; 2; 3,则三个高斯函数(43)以以下线性形式相关推论9。设ak;i;k1; 2; 3是定义(1)中定义的移位算子,则连接具有一个移位参数的三个高斯函数的递归关系由下式给出:a1a2a3我我我lia1lia2lia32F1½a1;a2;a3;z]<$0;i<$1;2;342m ia1m ia2m ia3下面的定理处理连接三个移位高斯多项式的更一般的公式:2F1½a1a1;a2;a3;z];2F1½a1;a2. Aa1a2Aa3 .[a2;a3;z] 和2F1½a1;a2;a3a3;z]431 1 1l1a1l1a2l1a32F1½a1;a2;a3;z]<$0<$37mm辆m1a1M 1a2m 1a3其中A ai;i^l; 2; 3如定义(1)中所定义,且l ij、m ij分别为向量Li、M j的第i个元素。定理10. 对于任何整数ai,i= 1,2,3,三个移位高斯多项式(43)以如下形式线性相关. Aa1a2Aa3 .证据4. 假设期望的递归关系连接1 2 3上述三个高斯函数是d12F1½a1a1;a2;a3;z] d22F1 ½a1a2;a2;a3;z] d32F1 ½a1[a3;a2;a3;z]¼ 0对于某个非零的diZ,它可以写成运算符形式,3dkA1k¼1l1a1l2a2l2a32F1½a1;a2;a3;z]<$044辆m1a1m2a2m2a3其中,lij,mij; i,j= 1,2,3的定义如式(32和 33)所示。证据5.假设所需的关系具有以下形式:d12F1½a1a1;a2;a3;z] d22F1½a1;a2a2;a3;z]d32F1½a1;a2;a3a3;z]¼ 0对于某个d=d(a,a,a,z),i=1,2,3,即现在,在(35)中设置i= 1,我们得到J我我12 33a我A1 ¼ l1jm1jI;j 2Z1/1 diAi对于j=ak,k=1,2,3,我们得到一l1aA1m1aI;k <$1; 2; 339现在,在(35)中设置j<$ai2Z;i <$1; 2;3,可以得到一lia A1将(38)和(39)结合起来,我们得到(45)中的代入3k¼1X3k¼1dk l1ak 1/4 0; 和9>>ð40Þ31/1X31/1diliii¼0;且9>=>ð47Þd k m1 ak ¼0D i m i ai¼ 080A.K. 易卜拉欣i1;ai2;ai1i2我A我J¼一个2¼22¼3130¼32¼121011一个2¼3130¼22¼3222我.MM.JQ22 22A Aa求解di,我们得到L ld¼。. ;i ¼ 1; 2; 3;.1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000确认作者要感谢教授彼得保罗,约翰开普勒大学,林茨-利用(48),我们可以将(45)改写成(44)的形式,从而完成证明。H4. 算例在本节中,我们将使用计算机代数系统Mathematica来找到所有整数j的向量Lj,Mj,从而表示所有整数j的运算符A;i<$1; 2; 3。j的值,根据运算符1;.参考前一节中的引理(6),可以如下:求出关系式Ai <$lijA1μmijI;i <$1; 2; 3和j2Z其中lij、mij是向量Lj和Mj的第i个元素。在本文件的编写和定稿过程中提出的意见和建议引用[1] G. Gasper,M.王文,《超几何级数》,《数学百科全书及其应用》,第35卷,北京:人民出版社,1990年。[2] G.E.安德鲁斯河阿斯基河《特殊函数》,剑桥大学出版社,1999年。[3] L.张文,《广义超几何级数》,北京:人民出版社,1996年。[4] E.D.Rainville , SpecialFunctions , TheMacmillanCompany,New York,1960.[5] E.D. Rainville,The contiguous function relations forp F withu; v下表给出了lij、mij并且j=0,1,2。j =0 j =1 j =2对于i=1,2,3贝特曼J n的应用Rice的H n(f,p,v),Bull. Am.数学Soc. 序列2(51)(1945)714[6] W.李文,李洪志[7] R. Vidu'nas,超几何级数的连续关系,J.i =1l10=0l11=1l12a3a1-a21z-2a11a11z-1Comput. Appl.Math.135(2003)。[8] K.C. 理查兹, 尖锐 功率 是说 界限 对于高斯I =2l20=0l21 ¼ a1I =3L=零la1a3 z-1a1-a3和la1½a3-2a2-2a2-a11z]a2a21z-1la1a3a31z-1½a3-2a3-a1-a21z]a1-a3a1-a3-1a3-a2a3-a21z2超几何函数,J.数学Anal. Appl. 第38(2005)303- 309号来313.[9] R. Vidu'nas,库默尔身份的概括,落基山。J. 32(2)(2002)919j= 0j= 1j= 2i=1m = 1m = 0ma1-a3 1a1i=2m20 =1m21¼a2-a1i= 3m= 1ma3½a1-a3-a2z]a1-a3a3-a2 zma2-a1½a3-2a2-2a2-a11z]a2a2-a31a2a21z-1ma3a31a1-a3-a2za3-2 a3-a1-a21za1-a3a3-a2z-1z]中国1-a 3中国 1-a 3-1中国 3-a 2中国 3-a 2中国1中国2使用关系A1 ¼l12 A1m12I49A2 ¼l22 A1m22I50和A3 ¼l32 A1m32I51我们可以很容易地得到1、2和3,它们正是我们在例子(4)中得到的。此外,可以很容易地使用前面的计算来表示连接任何两个运算符的递归关系,例如[10] 李文,等.超几何级数的连续关系.数学学报,2000,21(1):117 - 118. 3(2)(2004)375[11] D.连分式与正交性,《连续关系》。350(2)(1998)769[12] D.古普塔,连续关系,基本超几何函数,正交多项式。三.相关的连续对偶q哈恩多项式,J。68(1-2)(1996)115[13] T. Morita , 使 用 高 斯 连 续 关 系 计 算 超 几 何 函 数 F(n+1/2,n+1/2;m;z),Intercept. 告知。Sci. 2 (1 )(1996)63[14] M.伊斯梅尔角Libis,Contistanials关系,基本超几何函数和正交多项式。我,J。数学。肛门。Appl.22141(2)(1989)349-372。A2和A3,通过从Eqs中消除A1,(50)和(51),我们得到l32A2-l22A2 ¼l32m22-l22m32I[15] M.A. Rakha,A.K. Ibrahim,On the contiguous relations ofhypergeometric series,J. Comput. Appl.Math.192(2006)。2 3[16] M. 阿布拉莫维茨岛 Stegun,数学手册其可以被重写为l322F1½a1;a22;a3;z] -l222F1½a1;a2;a32;z]-L32m22-L22m32m2F1½a1;a2;a3;z]1/40其中L22、L32、M22和M32可以从上表中获得。Functions with Formulas,Graphs,and MathematicalTables,9th printing,Dover,New York,1972.[17] 超几何2F1。 。i1i2
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