分数阶微分方程的数值求解方法及应用

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，638埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章求解分数阶最优控制问题和分数阶Riccati微分方程F. 高曼贾尼Kashmar高等教育学院，Kashmar，伊朗接收日期：2014年10月12日;修订日期：2015年8月6日;接受日期：2015年12月15日2016年4月20日在线发布摘要本文应用Bezier曲线方法求解分数阶最优控制问题和分数阶Riccati微分方程。该方法的主要优点是可以减小近似解的误差因此，使用Bezier曲线方法获得的解给出了良好的近似。数值算例验证了该方法的准确性所有的数值计算都是在PC机上用MAPLE 13编写的几个程序完成的2010年数学学科分类： 65D07; 65D25; 65D99版权所有2016，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍分数阶微积分在基础科学和工程学中有着广泛的应用，参见[1最近，应用程序已包括解决各种类型的非线性分数阶微分方程数值（例如，见参考文献1）。[1，7]和联系电话：+98 9153583204。电子邮件地址：fatemeghomanjani@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责其中的引用）。Adomian分解方法是求解分数阶微分方程的线性/非线性系统的一种方法，它给出了任何阶所需精度的数值解（见[9Jafari等人[13]介绍了一种求解Riccati微分方 程 和 分 数 阶 Riccati 微 分 方 程 的 修 正 变 分 迭 代 法（MVIM）。本文主要研究具有二次型性能指标的分数阶Riccati微分方程、Riccati型微分-微分方程和最优控制问题以及具有Caputo分数阶导数的动态系统。这个问题不需要使用哈密顿公式就可以解决。我们的工具，这一目标是贝塞尔曲线方法。 关于Bezier曲线的研究有很多文献。Zheng等人S1110-256X（16）00023-7 Copyright 2016，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.12.003制作和主办：Elsevier关键词分数阶导数;分数阶最优控制问题;Caputo分数阶导数求解分数阶最优控制问题和分数阶Riccati微分方程639nH∈=∗∗2×→∈ −≤/=r，nHR hn0∗（dxm（ ）−[14]提出了使用Bernstein-Bezier形式的控制点interval [t0，tf]如下：.. t − t0奇异摄动两点边值问题采用Bezier控制点法求解时延v（ t）=r=0时arBr，nh，（5）[16]第16话：Bezier函数和控制点的一些其他应用在[17]中找到。在目前的工作中，我们提出了一种类似的技术，在[17]中用于求解分数阶最优控制问题其中h=tf−t0，并且B. t−t0=. n=1（t-t）n-r（t-t）r，和分数阶Riccati di Riccati方程。本研究的组织如下：在第二中，问题值Br，n（t−t0）是n次伯恩斯坦多项式，本文介绍解决方法在第3节中解释。在第4节中，将该方法应用于各种示例，以显示该方法的有效性和简单性。最后，第五节将给出一个简短的结论。2. 问题陈述相对于时间的分数Riccati微分方程由下面区间[t0，t f]，a r是控制点;对于r0，1，. . . ，n.通过在（1）中替换（5），可以如下定义对于t[t0，tf]的R1（t）R1（t）= D α y（t）−（A（t）+B（t）y（t）+C（t）y2（t））。（六）现在，通过求解（6），可以找到未知的值ar，r= 0，1，. . . ，n.注3.1.现在，用Bezier曲线方法求解Riccati型微分方程Dα y（ t）=A（ t）+B（ t） y（ t）+C（ t）y2（t），（1）S（ t） yr（β1t+μ1）=A（ t）+B（ t） y（β2t+μ2）其中A（t）、B（t）和C（t）表示给定函数，α表示-描述分数阶导数的顺序。对于α>0阶的分数阶导数有几种定义。例如，+C（ t） y（β3t+μ3），t0≤t≤tf，在混合条件β4y（ t 0）+β 5y（ tf）=λ，Iα f x1100x0tα−1f t dt0x0（二）其中y（t）是未知函数，S（t）、A（t）、B（t）和C（t）是（）=α（）（），α>，>，定义在区间t0≤t≤tf上的已知函数，其分数阶导数α≥0为βi，其中i = 1，2，. . . ，5，μi，其中i = 1，2，3。t0和tf也是实数DαfDM（x）=dxm（Im−α f（ x）），具有合适的整数m，（3）constants.注3.2.在不失去一般性的情况下，我们花时间在-Riemann-Liouville积分算子在分数阶导数和积分理论的发展中起着重要的作用。但它在处理具有初边值条件的分数阶微分方程时存在一些不足。因此，我们在这里采用Caputo定义，它是Riemann-Liouville定义的修改val为[0，1]，因为任何时间间隔[t0，tf]都可以通过定义t=（tf−t0）z+t0转换为[0，1]，其中现在z∈[0，1]。注3.3. 设α是（0，1）中的实数，F，G：[t0，tf] R2R是两个连续可微函数. 分数OCP的一般形式可以引入为（参见[19]）。Dα f xIm−α。DMf xx（四）tfF（ t， x（ t）， u（ t）） dt，（7）的t0其中mN; m1 <αm. Caputo分数阶导数首先计算一个普通的导数，然后计算一个分数分数阶动态控制系统积分以实现分数阶导数的期望阶数Cα我们提到，黎曼-刘维尔分数阶导数的计算顺序相反。我们选择使用Caputo分数阶导数，因为它允许传统的（整数阶）初始和边界条件包含在问题的公式中，但对于齐次初始条件假设，这两个算子重合。有关Riemann-Liouville和Caputo类型的分数导数的几何和物理解释的更多详细信息Axstec（t）+Bt0Dtx（t）=G（t，x（t），u（t）），（8）并且初始条件x（ t0）=x0，（9）其中（A，B）（0，0）和x0是给定的常数。根据文献[20]的讨论，如果（x，u）是（7）ZHF）=的、尽量减少 J（ x，u）=640F. 戈曼贾尼tf阿克斯的t0tλAλstec（t）−BtDαλ（t）=−（t，x，u，λ），3. 解决方法我们的策略是使用贝塞尔曲线来近似解y（t）与v（ t），其中v（ t）如下所示定义n次贝塞尔多项式，它近似v（ t）在Axstec（t）+BCDαx（t）=− <$H（t，x，u，λ），ZH<$u（t， x， u，λ）=0，t∈ [t0，tf]，x（ t0）=x0，λ（tf）=0，（10）求解分数阶最优控制问题和分数阶Riccati微分方程641拉乌2tfCα（）===-dtαnH的t0不 （）=（n−α）（−图1示例1的近似解和精确解y（t）的图。哪里D ttf（−1）nDn tft4. 数值算例不αλ（）=CDα x tn（n α）dtn不1吨t（μ−）λ（μ）μ，n−α−1x（n）在这一节中，我们给出了一些数值计算结果，用所述方法进行校准实验，以支持我们的理论讨论此外，H表示哈密顿量，定义为以下形式：H（ t， x， u，λ）=F（ t， x， u）+λG（t， x， u）. 应该提到的例1. 考虑下面的分数Riccati微分方程（见[13]）在实践中，我们从条件<$H（t， x， u，λ）=0中得到u与λ和x的因此，上述系统dαydtα= −y（ t）+1， 0<α≤ 1，可以写成下面的形式Aλstec（t）−BtDαλ（t）=M（t，x（t），λ（t）），Axstec（t）+BDx（t）=N（t，x（t），λ（t）），y（0）= 0，其中，上述方程的精确解是y te2t−1，e2t+1的t0不x（ t0）=x0，λ（tf）=0，（11）其中M（t，x（t），λ（t））和N（t，x（t），λ（t））是关于x和λ的已知函数。上述分式系统包含（7）-（9）的解的最优性的如果F（t，x，u）和G（t，x，u）是关于x和u的两个凸函数，则（11）包含最优解的充要条件解x和u。现在，使用Bezier曲线来近似解，变量x（t）和u（t）近似为v（ t）和w（ t）α1。通过选择所述方法中的n 7和α0. 九十八，可以找到y（t）= 8。0900837 t4- 10。23780585 t5- 1。635196129T7+6。508488745 t6+ 0。463961845 t2- 3。427938155t3+ t。近似解和精确解的曲线如图所示。1.一、实施例2. 考虑下面的分数Riccati微分方程（参见[13]）：dα y其中v（ t）和w（ t）分别给出（见[16，17]）。=2 y（t）− y2（t）+1，0 <α ≤ 1，v（ t）=.r=0时arB r， n. t-t0，的t0-μ）（μ）μ，n−α−1642F. 戈曼贾尼nH2.−==-y（0）=0，其中精确解的形式w（ t）=.r=0时brBr，n. t-t0。y（ t）=1+2 tanh.102吨+1千克√2112+1但是，当逼近解的次数n趋于无穷大时，证明了用Bezier曲线逼近时的收敛性（见[17]）。当α1。通过选择n7和α0。98，可以找到以下求解分数阶最优控制问题和分数阶Riccati微分方程64346图2示例2的近似解和精确解y（t）的图。图3示例3的近似解和精确解x（t）的图。y（t）= 1。733381253 t +. 4836486212+ 0。1854684368T7-2。540593018吨 -1。204247718吨[13]已提出用于解决实例2。与求解分数阶微分方程的修正变分迭代法的比较+2。84677676T50的情况。8498937992T23Riccati di Bézier方程的结果，VIM的结果可以在较大范围内给出更精确的近似-0。259041817吨近似解和精确解的曲线如图所示。 二、修正变分迭代法（MVIM）区域（大间隔）具有高计算量，但是本方法不需要大区域和高计算量。使用贝塞尔曲线解决这个问题是一个新颖的想法。虽然方法很简单+644F. 戈曼贾尼1不==-366β = − β+= −0。九十八。+表1不0.00.20.40.60.81.0实施例3的x（t）的精确值和估计值。分析x（t）1.00000000000.75937089769120.57989754654720.44712610374160.3503638533130.281818070877α = 0的规定方法。91.00000000000.75937089781730.57989804767640.44712562044740.35036385305150.2818180709000α=1时的绝对误差0.01.261×10−105.011292×10−74.832942×10−72.61×10−102.3×10−11绝对误差[21]0.00008990.00003250.00002130.0001030.0000914–图4示例3的近似解和精确解u（t）的图。使用和简单。这些是本方法结果的主要优点实施例3. 考虑以下时间不变问题（见[21]）1tDαλ（ t）=x（ t）−λ（t），x（0）= 1，λ（ 1）= 0，此外，以下最优控制律可以通过以下公式计算：使用cnH=0∫122岁J=2x（ t） u（ t）dt，0u（t）= −λ（t）。S. t. D α x（t）= −x（t）+u（t），x（0）= 1。我们的目标是找到使性能指数最小化的u（tJ. 对于这个问题，我们有精确的解决方案的情况下，α1如下x（ t）=cosh（t ~2t）+β sinh（t ~2t），u（ t）=（1+α2β） cosh（α2t）+（α2+β） sinh（α2t），通过选择n6和α0。8，可以找到以下近似x（t）= 1。 +5。020205491 t4- 4。04713986 t5+ 1。485620981T2-3。010996506 t-1。385929291 t +1。220057256吨，u（t）= −0。385929291− −0。062492458 t4+ 0。0173924958T5哪里-0。385880666 t2+ 0。204185442T3双曲肘（双曲肘22 cosh（ 2）+ sinh（2）根据（11），我们应该CDα x（ t）= − x（ t）−λ（ t），+0。614070709 t-0。00173880946 t.图1和图2分别绘出了x（t）和u（t）的近似解和精确解的曲线图。 3和4在表1中，x（t）的精确估计值，所述方法的绝对误差，0不[21]中给出了α=1和绝对误差求解分数阶最优控制问题和分数阶Riccati微分方程6455. 结论本文利用Bezier曲线方法，给出了求解一类分数阶最优控制问题--分数阶Riccati微分方程和Riccati型微分-微分方程的一种高效、精确的方法.该方法计算量小，在保证解的精度的同时，减少了致谢作者感谢匿名审稿人的认真阅读，建设性的意见和很好的建议，使论文得到了很大的改进引用[1] D.巴莱亚努湾Diethelm，E. Scalas ，J.J. Trujillo，Fractionalcalculusmodelsandnumericalmethods ， NonlinearityandChaos，Series on Complexity，World Scienti fic，2012。[2] A.A.基尔巴斯张文，等，分数阶微分方程的理论与应用，北京：清华大学出版社，2004。阿姆斯特丹，2006年。[3] 吴文，广义分数阶微积分及其应用，国立台湾师范大学，1994。[4] F. 张文，张文忠，等.线性粘弹性中分数阶微积分的历史观点计算值Appl. 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