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一致凸函数的子类及其性质
.Σ . zfzPn0f0z.f0z。fz-a*P. fz-1。:埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society(2013)21,184原创文章级一致凸函数的某些子类a和类型b,参数N. Magesh*P.G.印度,Krishnagiri 635 001,Govt. Arts College for Men,收稿日期:2012年12月31日;接受日期:2013年2013年3月31日在线提供本文定义了一个新的b型k-一致凸函数子类,并得到了系数的估计。此外,我们研究极值点,增长和扭曲的界限,半径的星形和凸性和修改阿达玛产品。MSC:30C45?2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍用S表示形式为fzzX1azn;1:1n¼2凸函数用UCV表示,一致星形函数类用UST表示(详见[1])。从[3,4]可知,f2UCV()ff i.1zf00zP. zf00z.:在单位圆盘中是解析的单价的U ^fz:jzj1g,通过S和K,S的子类,<在[4]中,Rønning引入了一类新的与UCV相关的星形函数,定义为:分别为星形和凸形。 [1,2]第一章引入并定义了K和S*的以下子类。函数f(z)在U中一致凸(一致星形),如果f2Sp()ffizf0zfz0. fz-一个:f(z)在K(S*)中,并且具有这样的性质:对于U中包含的每个圆弧c,中心n也在U中,弧f(c)是con-n的。注意f(z)2UCV()zf0(z)2Sp. 进一步Rønning通过引入参数a,-16a1,a;FFIzf0zkz2f00z-a. zf0z12kz2f00zkz3f000z.布雷兹河>kzf0zkz2f00z-b;z2U: 1:2不2哪里Az1 keihzf0z12kz2f00 zkz3f000z]-bkeih½zf0zkz2f00z];函数类式(1.1)的S,其中arg(a n)=p+(n1)g,nP2.对于g=0,我们得到具有负系数的函数类T[8]。此外,我们定义V:1/4[g2RVg。[9][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19它被称为具有可变参数系数的函数类我们注意到,通过指定参数k,a和k,我们得到了由不同作者研究的以下子类。(1) VUg0;a;1;001VKa[9].(2)VU00;a;1;0[8].和Bzzf0zkz2f00z;然后我们有jAz1-aBzj-jAz-1aBzjP 0:12:4现在我想,jAz1-aBzj j1-bke 2-az(3)VU0=0;a;1;k=1; k(4)UCV0;a; 1;100UCVUCV[4]。(5)UCV0; 1; 1;k-UCV[12]。1-n¼21/2bwn-unnke-1-awn-un]an zj(6)UCV0;a;b;k-UCVa;b-UCV[6]。P-1-bk2-ajzX1bw-uknn¼2(8)VU0k;a;1;0 uk;a[13].(9)VU0k;a;1;kuk;a;k[14].本文的主要目的是得到形式为(1.1)的函数f属于类VUgk;a;b;k的一个充分系数条件,并证明它也是一个必要条件。þð1-aÞwnþun]janjjzj;ð2:5Þ和jAz-1aBzj j1-bke-az1þ½ðu-bwÞkeþu-ð1þaÞw]anzj函数属于这个类。我们进一步调查极值点,增长和扭曲边界,恒星半径n¼261-bkajzX1u-bw双头相似性和凸性以及修改后的Hadamard产品,类VUgk;a;b;k。juvenilen.n/2n--nVg,其中Vg为(7)VUg0;a;b;kk-UCVa;b[7]。Ih186N. 马盖什n nnXnjj-þðÞP.nþðÞnn22nnnn¼2nnn1个P1个n1/2.1-a-k1-b第1 -1页-1 拉乌-aw ja jrn-1nnn¼2nn nn¼2nn n22#nn证据 注意nr2:22根据(2.5)和(2.6),我们有jAz 1-aBz j-jA z- 1 aBz jP½21-a-2k1-b]jzj-21½u-bwkun¼2-awn]janjjzj“X1a61-a-k1-b;nP2:2: 10[]式(2.10)中的等式由式(2.9)给出的函数f(z)得到。3. 增长与畸变定理n[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19][10][11] [ 1 9 ] [ 1 0 ] [ 1 1 ][19][10][11]n¼2½unð1þkÞ -wnðkbþaÞ]janjjzj:在这一节中,我们得到了增长和扭曲的界限,最后一个表达式的下界为0,如果X1½u1k-kbaw]jaj61-a-k1-b;n¼2类V Ugk;a;b;k中的函数。定理3.1. 设函数f(z)由(1.1)定义,V U 类gk;a;b;k。则对于zr= 1因此证明是完整的。H在下面的定理中,证明了条件r1-a-k1-br2[ 1/2u1k-kbaw]6 j f z j(2.1)对于函数f2VUgk;a;b;k也是必要的。定理2.2. 设f(z)为(1.1)式且在Vg中,则f2VUg<$k;a;b;k<$当且仅当12:11-12:12 - 12:13 - 12:14 - 12:15- 16:16 - 17:17 - 17:1n¼2其中un和wn由公式2.2给出。6r1-a-k1-b2:3: 1[1/2]对于由式(2.9)给出的函数f(z),当z= ± r时,可得到式(3.1)的结果。½u1k-kbawX1aj6X1½u 1 k-kb2证据根据定理2.1,我们只需要证明fz2VUgk;a;b;k满足系数不等式(2.7)。如果f<$z<$2VUg<$k;a;b;k<$,则根据定义,我们有2] jnn¼2nn¼2a61-a-k-1-b-1;. 1-a¼-awazn-1最后一个不等式由定理2.2推出因此FFI.1个P1n2wnnanzn-1.¼wnnanzn-1:jfzjPjzj -X1jjanjjzj Pr-r2X1 JANJ. 100-b-1001n2un-bwnanzn-1n¼2n¼2因为f是一个函数的形式(1.1)与参数prop-在上面的类Vg中给出的,并且设置z=reig同样地,[1/2]不平等,我们有11Pjfzj6jzjXjajjzjn6rr2Xjaj1-P1n¼2wnjanjrn-11-a-k1-b21-b-bwjajrn-1nn6ru1k-kaw]r:k1-P1wjajrn-1:12:80这就完成了证明。H令rfi1,(2.8)导出期望的不等式X1½u1k-kbaw]jaj6 1-a-k 1-b;定理3.2. 设由式(1.1)定义的函数f(z)属于类VUg<$k;a;b;k<$。则对于zr= 1n nnn¼2211-a-k211-b-16a 1;k1;2< $2VUgk;a;b;k我们有X1½u1k-kbaw]2n¼2确认作者感谢裁判的宝贵意见。引用6X1½un1k-kbawn]a26月1日;15:13分[2] A.W. Goodman,On Uniformly Starlike Functions,J. Math.Anal. 155(2)(1991)364和n¼21-a-k1-b[3] W.C. Ma,D. Minda,Uniformly convex functions,Ann.Polon. 57(2)(1992)165[4] F. Rønning,一致凸函数和一个相应的2nnn1-a-k1-b2n;2例类星形函数,Proc。Math.Soc.118(1)(1993)189[5] R. 巴拉蒂河Parvatham,A.Swaminathan,关于6X1½un1k-kbawn]a2 61:05:14分一致凸函数及相应的星形函数n¼21-a-k1-b函数,淡江数学杂志28(1)(1997)17[6] YJ Sim et al,Some classes of analytic functions associated由式(5.13)和式(5.14)可知,X11u1k-kbaw]2.Σn¼2 2具有圆锥形区域的台湾J.数学16(1)(2012)387[7] R.M. El-Ashwah,M.K. Aouf,A.A.M. Hassan,A.H.Hassan,变参数论证,J. Compd. Anal. 2013(2013)1[8]H. Silverman,Univalent Functions with Negative Coefficients,因此,我们需要找到最大的d2,使得Proc. Am. 数学Soc. 51(1975)109[1/2u1k-dkbw]1[9] H. Silverman,具有可变参数的单叶函数,n2[化][化]nn n;21-a-k1-bHouston J. Math.7(2)(1981)283[10] J. Dziok,H.M. Srivastava,解析函数nP2,即2随着不同的参数系数,Eur。J. Pure Appl.Math.2(3)(2009)302[11] S. Shams,S.R.Kulkarni,J.M.Jahangiri,Classes of uniformly2星形函数和凸函数,Int.J. 数学数学Sci. (53-56)d6½un1k-kbawn]-2½un1k-kbwn]1-a-k1-bwn:1/2un1k-kbawn]-2wn 1-a-k 1-b由于W(n)是n的增函数,(nP2),我们很容易得到d26W200(2004)2959[12] S. Kanas , A. Wisniowska , Conic regions andk-uniformconvexity,J. Comput. 105(1-2)(1999)327[13] M. Kamali,S. Akbulut,关于具有负系数的某些凸函数的子类,应用数学计算。145(2.3)(2003)3412 2[14] S.Sivasubramanian,研究对某些单叶 和1/2u21k-akbw2]-21/2u21 k-kw2]1-a-k1-b;多价解析函数,论文,2005。半u21k-akw2]-2w21-a-k 1-b这就完成了证明。H一n;1一n;2例2n;161:05:15分2ΣΣ
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