提升向量变分问题的基于几何测度理论和离散外演算的自然形式

1∫提升向量变分问题：基于几何测度理论和离散外演算的自然形式Thomas Möllenhoff和Daniel Cremers慕尼黑工业大学{thomas.moellenhoff，cremers}@tum.de摘要成像和视觉中的许多任务可以被公式化为向量值映射上的变分问题。我们通过对流空间的提升来研究这类向量变分问题的松弛和凸化。为此，我们回顾了具有多凸拉格朗日函数的泛函可以在函数的图上被重新参数化为凸单齐次泛函。这导致了一个等价的形状优化问题，在有向曲面的域和余域的产品空间。一个凸公式，然后通过放松，ING搜索空间从定向表面更一般的电流。我们提出了一个离散化的无限维优化问题，使用惠特尼形式，这也概括了最近的1. 介绍本文考虑C1-映射f：X → Y的泛函E（f）= c（x，f（x），<$f（x））dx，（1）X其中X<$Rn，Y <$Rn是有界的开的。假设成本函数c∈c（x，y，n）是X ×Y×RN×n上的一个非负（可能是非凸）连续函数，它是多凸的（见定义）。2）在雅可比矩阵中。当维数和余维数都可能大于1（n >1，N >1）时，本文研究了（1）的松弛和全局优化问题。预计这将是困难的：在离散设置中，n=1或N=1的问题通常对应于多项式时间可解的最短路径（n=1）或图割（N=1）问题[11，60，24，53]，而对于n，N >1，出现的无序标签空间的多标签问题已知是NP-难的-见[35]。尽管如此，启发式策略已被证明在诸如如光流[10]或形状匹配[55，9]。与这种成熟的马尔可夫随机场（MRF）作品[30，31，29，55，39，9，10，14]我们认为少探索连续（无限维）设置的方式。我们的动机部分源于这样一个事实，即函数空间中的公式是非常普遍的，并允许各种离散化。连续松弛的有限差分离散化通常会导致MRF的离散化[70]，而分段线性近似与离散-连续MRF [71]相关，参见[17，40]。最近，对于最佳运输中的Kantorovich松弛，考虑了使用深度神经网络的近似，并取得了有希望的性能，例如在生成建模中[2，54]。我们进一步认为，分数（非整数）的解决方案，一个仔细的离散化的连续模型可以隐式近似的“整数”连续的解决方案。因此，可以实现大大超过网格尺寸的精度。由此产生的模型将难以从有限维的观点解释和推导，使得需要对最终实现进行连续的考虑。此外，配方所产生的连续松弛允许一个引入各向同性的光滑潜力，而不恢复到高阶项的成本，并且，正如我们在这项工作中所示，可以施加一般的多凸正则化只使用局部约束。多凸函数（其通常是非凸的）的示例是图的表面积，有时在图像处理社区中被称为“Beltrami正则化”，参见例如，[28]第10段。与离散多标记设置相反，一个重要的问题是涉及能量（1）的变分问题是否允许极小化。解决这个问题的一个有效方法是适当地放松解决方案的概念，从而扩大可接受候选的搜索空间（“将问题提升到更大的空间”）。这个想法的起源可以追溯到世纪之交，见希尔伯特这一原则的一个例子是著名的康托洛维奇放松[26]蒙日好了1.我们请感兴趣的读者参考《圣经》中的历史评论。L. C. 杨122-123]。1111711118在映射f：X → Y上的搜索被放松为在乘积空间X× Y上的概率测度上的搜索。每个地图都可以在扩展空间中识别，并在其图形上集中测量。最优运输计划的存在性直接归因于较大空间的良好紧性。此外，将非线性约束和非凸优化问题转化为线性规划问题，从而产生了丰富的对偶理论和快速的数值算法[47]。人们可能会问，扩张空间中的松弛解是否具有某些正则性，例如，它是否是（充分正则的）映射的图，因此可以被认为是原始（“unlift”）问题的解在最优运输的情况下，这种正则性理论可以在一些假设下得到保证[63，52]。建立存在性和规律性的问题，其中成本还取决于雅可比矩阵（例如最小曲面问题）一直是几何测度理论发展的驱动因素，见[44]的介绍。在这项工作中，我们将使用几何测度理论的思想来追求能量（1）的上述松弛和其主要思想是将原变分问题转化为表示乘积空间X× Y中映射f：X → Y的图的定向流形上的形状优化问题。 为了得到一个凸公式，我们扩大搜索空间，从定向流形电流。1.1. 相关工作解决涉及（1）的问题的常见策略是基于欧拉-拉格朗日方程恢复到局部梯度下降最小化。但对于非凸问题，解可能依赖于初始值，计算的稳定点可能是次优的。因此，我们追求能量（1）到电流的上述提升。这种提升以前已经在几何测度理论中考虑过，以在非常广泛的环境中建立用于矢量变分问题的上述存在性和正则性理论，例如，[15、16、5]。与这些令人印象深刻的理论成就相比，本文关注的是离散化和实现。还有各种相关的应用工程。文章[68]使用线性规划处理双射和平滑形状匹配的问题。与目前的工作类似，作者也寻找X× Y中的图曲面，但他们考虑离散设置并使用不同的边界算子概念。我们研究的是连续设置，但我们的离散公式也有很大的不同。对于N=1，所提出的连续公式具体为[1，48]。为 了 以 存 储 器 高 效 的 方 式 解 决 N >1 的设置，Strekalovskiy等人。 [58，19，59]在因子分解假设Y= Y1×下保持余维为1的N个曲面的集合。. . × YN。相比之下，我们只考虑一个表面的余维N，我们不需要一个假设Y，我们的方法是适用于更大的一类泛函，我们希望它产生更紧密的放松。提升方法[34，20]也通过考虑完整的乘积空间来解决向量问题，但仅限于全变分正则化（前者允许Y是流形）。最近的工作[67]是最相关的，但他们的放松考虑一个具体的例子（1）。此外，上述工作是基于连续模型的相比之下，建议离散化使用离散外部微积分产生的解决方案超出了网格精度在最近的子标签准确的approaches。后者仅限于N=1[41，40]或总变差正则化[33]。最近的工作还包括对总广义变分或拉普拉斯正则化的扩展[57，64，36]。最近的形状分析方法[56，62，61]也在乘积空间X×Y中操作。然而，这些都是基于Gromov-Wasserstein距离的局部最小化[37]及其谱变体[38]，这导致了（非凸）二次分配问题。虽然找到一个光滑（可能是双射）映射的目标是相似的，但公式似乎完全不同。为了减轻乘积空间公式化的成本增加，在函数映射的背景下研究了X ×Y中密度的计算有效表示[46，51]。2. 符号和预备在本文中，我们将介绍几何测量理论的概念，因为它们在视觉社区中并不常用。虽然这个主题是相当技术性的，但我们的目标是保持轻松的演示，并专注于几何直觉和对实际实施很重要的方面。我们邀请读者参考书中的第4章 [44]和[13]中关于外部calculus的章节对于更技术性的处理，我们参考[15，32]。在下文中，我们将Rd中的基表示为{e1，. . . ，e d}的对偶基{dx1，. . . ，dx d}，其中dx i：Rd→ R是映射每个x =（x1，. . . ，xd）到第i个分量xi。 给定一个整数k ≤ d，I（d，k）是多指标i =（i1，. . . ，ik），其中1 ≤ i1<。. . 1和N >1的设置更具挑战性的一个方面。稍后，我们将考虑从非一致性放松τGfM（πf（π1z））（z）=，（6）|M（πf（π1z））|从简单k-向量到一般k-向量的凸集。自然地，为了使松弛良好，我们希望凸能量在非简单k向量上尽可能大。对于欧几里德范数，一个好的凸扩张是质量范数其中映射M：RN×n→ΛnRn+N由下式给出：M（ε）=（e1+ε e1）ε。. . π（en+π en），（7）和π1：X×Y → X是到v.Σi|：i是简单的，v =|:ξ iare simple, v =ξi.（四）我第一个论点。为了得到重新参数化，我们必须连接一个简单的n-向量（表示图的定向切平面）与原始的雅可比矩阵。对偶范数是由下式给出的comassw|v|≤ 1}。（五）质量范数可以理解为与简单k-向量上的欧几里得范数一致的最大范数。Σ11120能源为此，我们需要（7）中给出的映射的逆为了得到这样的逆，我们首先引入进一步的帮助-完整的符号。F或i∈I（m，l）记为<$i∈I（m，m−l）在{1，2，. . . ，m}，记为<$0={1，. . . ，m}和0作为empt y11121Σ. 例如，2- 向量v∈ΛR2的=10个系数F12（z，M（∫∫X∫.Σ多指标每个v∈ΛnRn+N可以写为：反对意见1. 设c<$：X×Y×ΛnRn+N→R是原成本c在最后一个变元中的多凸扩张。v=vi，jei<$εj，（8）|我|+|J|=n定义函数X：X × Y ×ΛnRn+N→R，.v<$0，0c<$（πz，πz，v/v<$0，0），如果v<$0，0>0，其中i∈I（n，l），j∈I（N，l′），l+l′=n. 举一个552根据符号（8），是：v<$0， 0+∞，否则，其中π1：X × Y → X和π2：X × Y → Y是第一个和第二个参数的正则投影。然后我们可以重新参数化（1）如下：v0，（1，2）（九）c（x，f（x），<$f（x））dLn（x）Xv0，（1， 3）v0，（2， 3），= n（z，τG（z））dHn（z），GF（十四）其中，我们突出显示了N×n系数，|J|= 1时。现在注意，向量v=M（n）通过构造是一个简单的n-向量，其第一个分量v<$0，0=1。 ToANY其中第二积分是关于限制在图G上的Rn + N上的n维Hausdorff测度的标准Lebesgue积分.Fv∈ΛnRn+N，其中v<$0，0=1，我们将<$（v）∈RN×n给出证据 我们直接计算：[第（五）款]j，i=（−1）n−ii，j.（十）c（x，f（x），<$f（x））dLnX（十）（十五）当且仅当v ∈ Λ nRn+N是单的且第一个分支v<$0， 0=1则v=M（n（v））. 在[18]中给出了一个证明。I，Ch.2.1，Prop.1]中。因此，在简单n-向量的集合上，第一分量v<$0，0=1，=（x，f（x），M（f（x）dLn（x）（16）∫1GF|M（πf（π1z））|n={v∈ΛnRn+N：v=M（n）forn∈RN×n}，（11）映射（7）的逆由（10）给出使用上述符号，我们可以定义一个广义的凸性概念，它本质上表明k-向量上存在凸重构。定义2（多凸性）。一个映射c：RN×n→R是多馀nvex ， 如 果 re 是 一 个 多 馀 nv ex 函 数 c<$ ：ΛnRn+N→R，使得我们有c（M）=c<$（M（M）），对所有的M∈RN×n.（十二）等式1有c（v）=c<$（v），对所有v∈v1。我们还将conv x函数c′称为polyco nvextension。一般来说，多凸扩张不是唯一的。任何凸函数都有一个明显的多凸扩张（10），但正如前一节所讨论的，我们希望对v ∈ /n 1的凸xe扩张尽可能大。与原函数一致的最大多凸扩张可以用凸双共轭来形式化定义，但通常很难显式计算。质量范数（4）对应于这样的构造。然而，给定任何多凸扩张，我们现在可以重新参数化定向图G f上的原始能量（1），如我们在下面的中心命题中所示。一对一对二，一v1， 2v 2，2v1， 3 v2，vn（z，v）=（十三）=∫dHn（z）（17）∫11122n=Ψ z，τGf（z）dH（z）.（十八）GF从（15）到（16）的步骤利用了c<$是一个多边形的x∈x-张力（因此我们可以应用（12）），以及对于v=M（x ∈f（x）），我们有v ∈v<$0，0=1的事实。 在（17）中，应用面积公式[32，推论5.1.13]，在（18）中，我们使用了τ的正一齐次性和（6）中τGf的定义。有趣的是，函数（13）在最后一个参数中是凸的和单齐次的，因为它是凸函数的透视图然而，C1映射的定向图的搜索空间因此，我们从定向图放宽到更大的电流集合，我们将在下面的部分介绍。由于电流形成一个向量空间，因此我们得到一个凸域上的凸泛函4. 从有向图到流在本节中，设U<$Rd是一个开集，它以后将成为X×Y<$Rn+N的邻域，其中X=cl（X），Y=cl（Y）是X，Y的闭包。 我们松弛的主要思想和我们在本节中介绍的前推和边界算子的几何二、电流是用微分形式的对偶来定义的，我们将在下一节简要介绍11123H.Σ∫∫MsptT（X）×YT(a) 非纯映射f(b) 带跳(c) “Stitched”图2：我们放松的想法是从乘积空间中的定向图移动到更大的电流集合。这些包括定向图作为特殊情况，如（a）所示。对于一个自同构，前推π1<$T，π2<$T产生由域和余域诱导的电流，这将是松弛问题中的一个线性约束在（b）中，我们给出了由不连续函数的图形给出的电流由于它有洞，边界算子BMT在域内有支撑。我们将限制边界的支持，以排除此类情况。（c）拼接跳跃产生在跳跃点处具有垂直部分的电流，这对应于透视函数（13）中的极限情况为了得到一个整体的凸公式，我们还将允许电流（d）4.1. 微分形式k阶微分形式（简称：k-形式）是一个映射ω：U→ΛkRd. 一个微分形式sptω的支集定义为{z∈U：ω（z）}的闭包0}。整合微分形式如图2a，定向k维流形MU通过以下方式感应电流：<$M）（ω）=<$ω。（二十三）在定向k维流形上的k-形式定义为：然而，由于Dk（U）是一个向量空间，并不是所有的元素看起来都像k维流形，见图。2d.界限-ω：=M其中τM（z）∈Hk（z）.（十九）Mk-流T∈ Dk（U）的元是（k − 1）-流由外导数定义的T∈ Dk−1（U）T（ω）= T（dω），对所有ω ∈ Dk−1（U）。（二十四）k-形式的导数的一个概念是外导数dω，它是由下式给出的（k+1）-形式斯托克斯ωdω（z），v1∧. . . 吉夫k+1=lim1h→0hk+1ω，（20）P目前同意通常的概念，见图。2b.由sptT表示的电流的支撑是最大开集V的补集，使得其中，φ P是{ hv i }在点z处所跨越的平行六面体的定向边界。为了直观起见，请注意，对于k = 0，这简化为熟悉的方向导数dω （x），v1=limh→01（ω（x+hv1）−ω（x））。与（19）和（20）记住，一个看到为什么斯托克斯dω=ω。（二十一）M直觉上应该成立。 给定一个映射π：Rd→Rq，k-形式ω的拉回π ω由下式确定：π v k D vπ当spt（ω）≠V时，T（ω）= 0。（25）给定一个映射π：Rd→Rq，k-当前T∈ Dk（U）由下式给出：π <$T（ω）=T（π <$ω），对所有ω ∈Dk（Rq）.（二十六）直观地，它使用映射π来变换电流，如图2所示。2a.流T ∈ Dk（U）的质量为M（T）=supT（ω）：ω∈Dk（U），<$ω（z）<$$>≤1，（27），如所期望的那样M（<$M））=Hk（M）.我们表示有限质量紧支k-流空间1其中Dviπ=<$π·vi且<$π ∈R4.2. 电流q× dK是雅可比矩阵π2πT=<$ Y）T=<$Gf）π1T=<$ X）∫M∫∫11124Mk（U）。 这些都可以用积分表示，这意味着U上有一个测度<$T<$ ， 映射 T→ ：U→ΛkRd使得 <$T→ （ z ） <$=1 ， 其 中<$T<$-几乎所有z使得T（ω）=<$$>ω（z），T→（z）<$d<$T<$（z）.（二十八）用紧超光滑k-型表示光滑k -型空间在U上的端口为Dk（U）。电流是对偶空间Dk（U）=Dk（U）′的元素，即，线性泛函作用于分解（28）是至关重要的，我们将在下一节中使用它来定义松弛。11125FCK.Σ<$（π1z，π2z，ω（z））≤0，<$z∈X×Y4.3. 放松的能量我们将原始能量（1）提升到有限质量流T∈Mn（U）的空间E（T）=。πz，πz，T→（z）<$d<$T<$（z）.（二十九）其中附加的前推约束鼓励双向性。也注意到（32）与（35）在最佳运输的康托洛维奇放松。最小化电流的存在类似的问题，（32）在一定的电流空间（真正的扁平链）中，[16，§3.9]中的12对于维数n=1或余维数N=1，下确界实际上是由一个表面（积分平面）实现的由于对T=<$Gf）我们有T→=τG，τT→=HnGf，所以理想性质E（<$Gf）=E（f）由于Prop. 1.一、注意，在（29）中，我们使用了较低连续正则化函数，它在v<$0 ，0=0处用正确的值扩展了（13）有趣的是，这一点对应于图形具有垂直部分时的情况，这对于C1函数不会发生，但对于一般电流会发生，见图1。2c. [43]这是一种惩罚，以取决于跳跃距离和方向的方式跳跃。由于空间限制，我们将不考虑这种额外的正则化，但注意到它们可以通过向下面的对偶表示添加进一步的约束来整合，这是[18，第二卷，第二节]的结果。1.3.1，Thm.2]。第二个提案。对于T∈Mn（U），其中sptT<$X×Y，我们有对偶表示链）[16，§5.10，§5.12]。这种理论考虑的适应我们的设置和条件下的松弛是紧的情况下n >1，N >1是一个重大的开放的挑战，并留给未来的工作。5. 离散公式在本节中，我们使用离散外部微积分[22]来实现连续模型（32）我们将基于立方体进行离散化，因为它们在高维中很容易处理，但也可以使用simplice。为了定义立体网格，我们采用了计算同调[25]中的一些符号。定义3（基本区间和立方）。 一个基本区间是I=[l，l +1]或I ={l}（l ∈ Z）形式的区间I ∈ R。 由单个点组成的区间是退化的。一个基本立方体由一个乘积给出E（T）=supω∈KT（ω），（30）κ= I1×。. . × I d，其中每个I i是基本区间。Rd中的基本立方体的集合记为K d。其中约束是闭凸集对于κ ∈ Kd，记为dim κ ∈ {1，. . . ，d}编号K=，ω∈C0（U，Λn∗Rn+N）：、（三十一）.非退化区间 记i（κ）∈I（d，dimκ）作为引用非退化区间的多指标。定义4（立方集）。一个集合Q∈Rd是一个三次集合，如果它可以写成基本立方体的有限并集（1）的最终松弛优化问题为：设Kd（Q）={κ∈Kd：κ<$Q，dimκ=k}为INFT∈Mn（ U）E（T），s.t. sptT<$X×Y，T∈C.（三十二）包含在Q<$Rd中的k维立方体的集合。一个映射φ：Q→X×Y将把三次集变换到我们的定义域。当我们处理图像时，根据人们希望解决的问题的类型，应考虑不同的凸约束集C。例如，在具有Dirichlet边界条件的变分问题的情况下，我们设置C=T：π1（T=X），π T=S，（33）其 中 S∈Mn−1 （ U ） 是 一 个 给 定 的 边 界 数 据 。 在Neumann边界条件的情况下，在域内约束边界的支撑为零11126KKKKT： π1<$ T=<$ X），spt<$T<$（<$X）× Y、（三十四）JJk−1JJsptT（X×Y），（35）间隔，即， 设φ（z）=（h1z1，. . . ，h d z d）。定义5（k-链，k-上链）. 我们把Kd（Q）中实系数元素的有限形式和空间记为Ck（Q），称之为（实）k-链。 我们将对偶记为Ck（Q）<$=Ck（Q），并称元素为k-上链。定义6（边界）。对于κ∈Kd（Q），将通过将第j个非退化区间分别折叠到下边界和上边界而获得的主面表示为.κ−，κ+∈Kd. 基本立方体的边界排除带孔的曲面，但允许在（X）×Y上自由选择边界。在n = N的情况下，也可以考虑约束集C=. T：π1<$T=<$X），π2<$T=<$Y），k∈Kd（Q）是（k−1）-链，<$k=<$（−1）j−1（κ+−κ−）∈Ck−1（Q）。（三十六）j=1边界算子由线性算子的延拓给出，map：Ck（ Q）→Ck−1 （Q）。C=11127ΣK^YΣΣak-流T′∈Dk（U），T′=<$KTκ φ<$K）.上述Σ输入有限差分离散外部演算X图3：在25×14立方集（灰色正方形）上最小化臂时线建议的离散化产生扩散流（黑色矢量场），其质心（黑色，虚线）然而忠实于分析摆线解（橙色），远远超出网格精度。有限差分离散外演算图4：总变差最小化。上图：建议的DEC离散化产生具有更好各向同性的解决方案，更尖锐的间断底部：在立体匹配示例中，我们在离散化点（这里是8个标签）之间强制连续约束Wω∈ K，一个k-链T=κTκ κ∈ Ck（Q）可以被识别为：边界的离散概念类似于连续定义（24）来定义在我们的离散化中，我们将使用来自Prop的提升能量的对偶表示二、实施差别导致更精确的（亚标记精确）解决方案，与朴素有限差分方法相一致。k-余链的情形下，我们得到了Q<$Rn+N上的如下有限维凸凹鞍点问题：形式，我们引入一个插值算子。定义7（惠特尼图）。 惠特尼地图扩展了minT∈Cn（ Q）Maxω∈Cn（ Q）n∈Cn−1（Q）T，ωk-上链ω到k-形式（Wω）： X× Y→ΛkRd，服从π1πT=1，Wω∈K，（三十九）（Wω）（x）=κ∈Kd（Q）ωκ^W（φ−1（x），κ），（37）n = N时可能π2<$T=1。S∈Cn−1（Q）是给定的边界基准，对于自由边界其中ωκ∈R是k-上链的系数W（x，κ）= dxi（κ）max{0，1-|xi−I i（κ）|}，（38）i∈i（ κ）而Ii（κ）∈Z是退化区间中的元素有趣的是，Whitney映射（对于单纯网格）首次出现在[66，Eq.27.12]，但专门用于最低阶Raviart-Thomas [49]（k=2，d=3）和Nédélec [45]元素（对于k=1，d=3），见[3，4]。类型（37）的微分形式称为惠特尼形式。通过将k-上链的Whitney形式插入到对应于k-链的流中，我们定义了链和上链之间的加权内积由于两者在每个k-立方体上都是常数，条件是我们用一个指数代替内积，cator函数S：Cn−1→R迫使在边界上为零。前推函数π1<$，π2<$是对k-链T的系数的线性约束.6. 数值实现在 实 践 中 ， 我 们 用 一 阶 原 始 - 对 偶 算 法 [8] 求 解（39）对于局部约束Wω∈ K，通常不存在闭型投影在某些情况下（N = 1）它们可以精确地实现，参见[41，40]。在一般情况下，我们采取在采样点实现它们为了在样本Z={z1，z2，. . . }<$X×Y我们增加另一个主变量λ：Z→ΛnRn+N和附加项z∈Z到鞍点计算表明：ωT，ωφ=公式（39）。Hk（φ（κ））简单地是k-立方体在网格间距φ。使用对偶表示（30），并通过k链和微分形式近似电YκTκ ωκHk（φ（κ）），其中11128流，最后，一个要求的近端操作员的每-预测函数这些可以使用epigraphical投影来实现，如[48]。关于透视函数的邻近算子的概述，我们参考[12]。11129.√ΣyΣ2Gy 其中g >0是引力常数。XYid− fid− f−1从左到右切片图5：X和Y的全局配准。顶部：我们的方法产生了密集的逐点对应，在两个方向上都是平滑的，并且对应于正确的变换。下图：在单个黑色像素处，通过4-D密度梯度的我们经验验证（也在其他点），电流集中在表面附近，因此恢复的解决方案是接近原来的非凸问题的全局最小值6.1. 离散化的性质作为第一个例子，我们解决了Brachistochrone [6]，显然是第一个变分方法。成本由下式给出：1+12X，Y=R2，边界为。我们使用成本c（x，y，ε）=（ρ（x，y）+ε）det（I + ε）det（I+ε），它惩罚了乘积空间中的表面积并有利于局部等距。参数ε >0模拟数据和平滑度之间的权衡。在图中考虑的示例5数据由ρ（x，y）=I1（x）−I2（y）给出，其中I1，I2是所示的彩色图像。上述成本的多凸扩展，对于非简单向量是大的，由（加权）质量范数（4）给出四维立方集Q是两个形状X和Y之间的乘积空间，它们是以四边形（像素）给出我们施加约束Wω∈ K在每个四维超立方体的16个顶点上。质量范数的邻近算子如[67]中所计算请注意，所需的4 × 4实数Schur分解可以使用几个Givens旋转减少到2 × 2 SVD，参见[65]。 我们进一步施加T <$0，0≥ 0和T 0，<$0≥ 0，并且边界条件确保X与Y匹配。匹配的双射性由前推约束π1<$T = 1，π2<$T = 1促进。在解了（39）之后，通过取2 -链T的质心，我们得到了2-链T ∈ C2（Q）的最终逐点对应f：X → Y.在图5中，我们可视化f（x）=y|（WT）（x，y）|，f−1（y）=xx|（WT）（x，y）|.可以看出，映射f和f −1是光滑的，并且彼此逆。尽管n >1，N >1，电流明显集中在表面附近，因此计算的解接近原始非凸问题的全局最优解stant. Dirichlet边界条件使用边界算子来强制执行。在图3中，我们显示了产生的电流，它集中在问题的封闭形式解决方案的图形上，这是一条摆线。通过对1-链中的水平边缘求和，取电流的第一分量T<$0，0的质心，得到未提升的结果所得结果与精确摆线基本一致。相反，MRF方法的解决方案总是局限于相当粗糙的网格的顶点或边缘在图4中，我们解决了对应于设置c（x，y，n）=ρ（x，y）+|ξ|对于一些数据ρ。在该示例中，数据是二次或立体基于离散外演算的方法具有更好的各向同性，比一般的前向差分方法具有更尖锐的间断性文学中使用的方法。此外，通过在离散化点之间也强制约束Wω∈ K，可以实现在立体匹配的例子中。6.2. 全局配准作为n >1，N >1的多凸正则化的例子，我们解决了两个形状7. 讨论和限制在这项工作中，我们介绍了一种新的方法来向量变分问题的几何测度理论的基础上，随着一个自然的离散化使用的概念，从离散外演算。虽然在实践中观察到，我们没有理论保证，最小化的电流将集中在一个表面上。在多个全局解的情况下，可以得到极小值的凸组合因此，选择凸解集的极值点的某种机制将是期望的。MRF的主要缺点是，存在非常有效的求解器[27]，我们不得不求助于具有O（1/ε）收敛性的通用算法[8然而，在实践中通常不需要具有高数值精度的解决方案，并且算法在GPU上并行化良好 总之，我们认为，目前的工作是一个有吸引力的替代MRF的连续方法的一步，特别是在忠实于底层连续模型的某些几何属性是可取的情况下。鸣谢。这项工作得到了德国研究基金会（DFG）的部分支持;项目394737018“Functional Lifting 2.0 - EfficientConvexifications for Imaging and Vision“。c（ x，y，y）=11130引用[1] G.阿尔贝蒂湾Bouchitté和G.达尔·马索Mumford-Shah泛函和自由间断问题的校准方法。计算值变种 偏微分方程，16（3）：299-333，2003. 2[2] M. Arjovsky，S. Chintala和L.博图Wasserstein生成对抗网络。在国际机器学习会议，第214-223页1[3] D. N. 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