双拓扑空间中弱和强不定函数的特性研究

Þð Þ ðÞJournalof the Egyptian Mathematical Society（2012）20，7埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章两两弱和两两强不定函数F.H. Khedra，*，H.S.萨阿迪ba埃及艾斯尤特大学理学院数学系，艾斯尤特715161b/P.O.女子教育学院数学系。Box 4281，麦加，沙特阿拉伯2012年3月2日在线提供本文考虑双拓扑空间中不定函数的一种新的弱形式和强形式，即ij-拟不定函数和强不定函数。给出了这些函数的若干特征和基本性质。本文研究了双拓扑空间中某些弱连续形式与连续映射的其它推广之间的关系。2011年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍双拓扑空间的研究最早是由凯利发起的[3]之后，大量的论文将拓扑概念推广到双拓扑空间。双拓扑空间中的不定映射由Mukherjee[11]定义。1991年Khedr[4]在双拓扑空间中引入并研究了一类称为两两h-不定映射的映射. Khedr[7]在这些空间中定义了拟不定映射的概念，并研究了它的一些性质。*通讯作者。电子邮件地址：Khedrfathi@gmail.com（F.H.Khedr），hotmail.com（H.S.Al-Saadi）。1110- 256 X？ 2011埃及数学学会。制作和托管由Elsevier B. V. CCBY-NC-ND许可下开放访问。同行评审由埃及数学学会负责。doi：10.1016/j.joems.2011.12.007制作和主办：Elsevier特性. Khedr在[6]中定义了双拓扑空间中强不定映射的概念，并证明了拟不定映射与半连续映射是相互独立的。本文的目的是介绍双拓扑空间中拟不定函数和强不定函数的基本性质。 我们在双拓扑空间中研究了这些函数以及s-闭空间和半紧空间的一些结果。此外，我们还研究了弱连续形式、不定式、拟不定式和强不定式之间的关系。在本文中，X;s1;s2，Y;r1;r2和（Z;m1;m2）（或简称X，Y和Z）表示双拓扑空间，除非另有说明，在这些空间上不假定分离公理。对于X的子集A，我们将分别用i-cl（A）和i-int（A）表示A关于si（或ri）的闭包和A关于si（或ri）的内部，其中i=1，2。也是i，j= 1，2和i，j。一个子集A称为ij-半开[1]，如果存在X的一个si-开集U使 得 UcAcj-cl （ U ） ， 或 者 等 价 地 如 果 Acj-cl （ i-int（A））.一个ij-半开集的补集称为ij-半闭集。A的一个ij-半内部[1]，记为ij-sint（A），是包含在A中的所有ij-半开集的并A.所有包含A的ij-半闭集的交称为A的ij-半闭包[1]，记为ij-scl（A）。关键词ij-半开集;ij-半连续;ij-不定;ij-半闭包;ij-半T2-空间;ij-半紧8F.H. Khedr，H.S. Al-Saadi2¼ ð ÞðÞð Þ你好！ ðÞ2你好！ ðÞð Þ22）1212X的子集A称为ij-半正则的，如果它在X中是ji-半开的和ij-半闭的。所有ij-半开（分别为。ij-半闭，ij-半正则）集记为ij-SO（X）（分别为. ij-SC（X），ij-SR（X）），对于xX，所有包含x的ij-半开集族记为ij-SO（X，x）.一个点x2X称为A[2]的ij-半h-附着点，如果对每个包含x的ij -半开集U有ji-scl（U）\A-A的所有ij-半h-附着点的集合称为A的ij-半h-c A的闭集，记为ij-sclh（A）。一个子集A称为ij-半h-闭的，如果ij-半h-闭的子集A是 A 的 子集.集合fx 2 X n ji-sclénU<$A，对于某个U是ij-半开的}称为A的ij-半h-内部，记为ij-sint h<$A<$.一个子集A称为ij-半h-开的，如果Aij-sinthA.现在，我们来谈谈这些定义和结果：定义1.1. 一个双拓扑空间被称为：引理1.8. [7]双拓扑空间X;s1;s2是ij-s-闭的当且仅当对于X的每个由ji-半正则集构成的覆盖都有一个有限子覆盖。引理1.9. [9]第一章(i) 每个ji-semi-h -闭集都是ij-h-sg-闭集 。(ii) 双拓扑空间<$X;s1;s2<$X是P-半T1= 2-空间当且仅当每个ij-h-sg-闭集是ij-semi-闭的。定义1.10. [9]函数f：X;s1;s2Y;r1;r2被称为：(i)ij-h-半广义连续（briefyij-h-sg-continuous），如果f-1V在X中是ij-h-sg-闭的，对Y的每个ji-半闭V.(i) P-semi-T0[8]（brie-P-semi-T0）如果对于每个dis-t，(ii) ij-h-半广义不定式若f-1∈V-在X中是ij-h-sg-闭的，则对每一个ij-h-sg-闭集色点x，y X，存在ij-半开集含x但不含y或含y的ji-半开集而不是x。(ii) 成对半T1[8]（简称P-semiT1）如果对X中的每两个不同点x和y，存在一个包含x但不包含y的ij-半开集U和一个包含y但不包含x的ji-半开集V。(iii) 成对半T2[6]（简称P-semiT2）如果对X中的每两个不同的点x和y，存在U2ij-SO（X，x）和V2ji-SO（X，y）使得U\V=/.定义1.2. [7]一个双拓扑空间<$X;s;s<$被称为V的Y。(iii) ij-h-sg-闭的，如果对X的每个ji-半闭集U，f（U）在Y中是ij-h-sg-闭的.(iv) ij-半广义闭集（briefyij-sg-closed）如果对X的每个sj-闭集F，f（F）是Y中的ij-sg-闭集。2. 两两拟不定函数的特征。定义2.1. [7]一个函数f：<$X; s1; s2< $ ！若对于每个x2X和每个V2ij，12SO（Y，f（x）），则存在U 2 ij-SO（X，x）使得f<$U<$<$ji-ij-半正则（分别为 ij-s-正则）如果对每个ij-半闭（分别）si-闭）集F和每个点xRF，存在ij-半开集U和ji-半开集V使得x2U，FcV和U\V=f.引理1.3. [8]对于空间X的每个子集A，我们有以下内容：(i) Xn ij-巩膜A沟i j-心脏X n A沟。(ii) Xn ij-sintelia A ij-scleroX n A。引理1.4.[7]设A是空间X的子集。然后我们有：(i) 若U2ij-SO（X），则有ji-scl（U）2ji-SR（X）.(ii) 若A2ij-SO（X），则ji-scl（A）=ij-sclh（A）.引理1.5. [9]设A是空间X的子集。如果A2 ij-SR（X），则A是ij-semi-h-闭和ji-semi-h-开的.引理1.6. [8]如果一个函数f：<$X; s; s< $ ！r;r;r是ij-scl（V）.如果f是12-拟不定的和21-拟不定的，则f称为两两拟不定。定义2.2. 函数f：X;s1;s2Y;r1;r2”[11]《易经》云：“君子之道，焉可诬也？”[12]ij-半连续[1]），如果f-1（V）是X的ij-半开集，对每个ij-半开集（分别为ri-开）集V的Y。定理2.3. 下面的语句对于函数f是等价的：X！Y：(i) f是ij-拟不定的(ii) ij-scl（f-1（B））cf-1（ij-sclh（B））.(iii) f（ij-scl（A））cij-sclh（f（A））.(iv) f-1（F）2ij-SC（X）.(v) f-1（V）2ij-SO（X）.证据(i)（ii）设B∈Y且x∈Rf-1（i j-sclh（B））.则f（x）Rij-sclh（B）且存在V2ij-SO（Y，f（x））使得ji-scl（v）\B=/.对于（i），存在U2ij-SO（X，x）使得f（U）cji-scl（v）.因此，f（U）\B=1，并且U\f-1（B）=1。预半闭的，则对于每个子集ScY和每个包含f-1 S的Uij-SO（X），存在V ij-SO（Y）使得ScV和f-1（V）c U.引理1.7.[7]双拓扑空间<$X;s1;s2<$ij-半正则因此，我们得到xRij-scl（f-1（B））.(ii)（iii）：对于X的任何子集A，包含ij-scl（A）c ij-scl（f-1（f（A）成立. 通过（ii），我们有ij-scl（f-1（f（A）c f-1（ij-scl h（f（A），因此f（ij-scl（A））c ij-sclh。(iii) （ii）为任何子集B的是的，我们有（分别）Ij-s-正则）当且仅当对于每个Ij-半开（分别为si-开）集G和每个点x2G，则存在ij-半开集U使得x2U，FcV和ji-scl（U）cG.ij-scl h（f（f-1（B）c ij-scl hB. 由（iii）得到f（ij-scl（f-1（B）cij-scl hff-1B，因此ij-scl（f-1（B））c f-1（ij-scl hB）。两两弱和两两强不定函数9）ð Þ2你好！ ðÞ22222）22¼ ðð ÞÞð ð ÞÞ ð ð ÞÞð ÞÞð Þ¼ ð ð ÞÞ 2！！×2016年12月26日，美国国家航空航天局（NASA ）宣布，ð Þ ð Þ¼ ð Þ¼ ð Þ¼ð Þ¼ ð ð ÞÞ ¼ ð Þ2¼fðÞðÞðÞgfgfgg12019 - 01 -22 00：00：00212你好！ ðÞ（ii）（iv）：设F是Y中的ij-半h-闭集.由（ii），我们有ij-scl（f-1（F））cf-1（ij-scl h（F））= f-1（F）. 因此，f-1（F）在X中是ij-半闭的.(iv) ）（v）：若V在Y中是ij-半h-开的，则YnV是ij-半h-闭的.由（iv），f-1（YnV）=Xnf-1（V）在X中是ij-半闭的.因此f-1（V）2ij-SO（X）.(v) （i）设x2X和V2ij-SO（Y，f（x））.由引理1.4和1.5可知，ji-scl（v）在Y中是ji-半h-闭的，ij-半h-开的.设置U¼f-1（ji-scl（V））。通过（v），我们观察到U2ij-SO（X）和f（U）cji-scl（V）.证据是完整的。H下一个定理包含了一个意想不到的结果。定理2.4. 下面的语句对于函数f是等价的：X！Y：(i) f是两两拟不定的(ii) 对于每个x2X和每个V2ij-SO（Y，f（x）），存在U2ij-SO（X）使得f（ij-scl（U））cji-scl（V）.(iii) f-1（F）2ji-SR（X）对每个F2ji-SR（Y）.证明(i) （ii）设x2X和V2ij-SO（Y，f（x））.由Lemmas1.4和1.5，ji-scl（V）是ij-半h-开的和ji-半h-闭的.把U放进-1ji-sclv。然后由定理2.3（v）得出，Uji-SR（X）。因此，我们得到Uij-SO（X）。U=ji-scl（U）和f（ij-scl（（U））cji-scl（v）.(ii) ㈠：显而易见。（i））（iii）：设V2ji-SR（Y）.根据引理1.5，V在Y中是ji-半h-闭和ij-半h-开的.由定理2.3可以得出f-1（V）ji-SR（X）.(iii)（i）：设xX和Vij-SO（Y，f（x））.根据引理1.4，ji-scl（v）f（x）（x，和通过假设f-1（ji-scl（v））ji-SR（X，x）. 设U = f-1（ij-scl（v）），则Uij-SO（X，x）和f（U）cji-scl（v）.这表明f是ij-拟不定的。H下面的定理提供了几个特征，ij-拟不定函数。定理2.5. 下面的语句对于函数f是等价的：X！Y：(i) f是两两拟不定的(ii) ij-scl h（f-1（B））c f-1（ij-scl hB）.(iii) f ij-scl hAcij-scl hf A对于X的每个子集A。(iv) f-1（F）在X中是ij-半h-闭的，对Y中的每一个ij-半h-闭集F.(v) f-1（V）在X中是ij-半h-开的，对每个ij-半h-开集V在Y。证据利用定理2.4，我们可以用与定理2.3的证明类似的方法H定理2.6. Letf：X; s1; s2！ r1，r2 ，r3 ，r4，r5，r6，r7，r8，r9，r10，r11，r12，r13，r14，r16，r17，r18，r19 若（X，s1，s2）是两两半T1= 2，则f是ji-拟不定的证据设V是Y中的一个ji-半h-闭集.根据引理1.9（i），V在Y中 是ij-h-sg- 闭 的。 因 为f是ij-h-sg-不 定的 ，f-1（V）在X中是ij-h-sg-闭的.根据引理1.9（ii），f-1v是ij-半闭的.由定理2.3证明f是ij-拟不定的。H定理2.7. 若 f：X;s1;s2Y;r1;r2是ij-拟不定的，Y是ij-半正则的，则f是ij-不定的.证据设V2ij-SO（Y）和x2f-1（V），存在W2ij-SO（Y）使得f（x）2Wcji-scl（W）cV，由于f是ij-拟无解的，则存在U2ij-SO（X，x）使得f（U）cji-scl（W）.因此，我们有x2Ucf-1（ij-scl（W））cf-1（V），因此f-1（V）2ij-SO（X）。这表明f是ij-不定的。H定理2.8. 如果f：X;s;s Y;r;r是ij-拟无解且Y是ij-半正则的，则f是ij-半连续的.证据 类似于定理2.7。 H引理2.9 设f：X Y和g：XXY是f的图函数，其中g x x;f x对每个x X。如果g是ij-拟不定的，则f是ij-拟不定的。证据设x2X和V2ij-SO（f（x））.则X×V是X × Y中的ij-半开集，其中包含g<$x<$。由于g是ij-拟不定式，存在U2ij-SO（X）使得g<$U <$ji-scl（X × V）X×ji-scl（V）.因此，我们得到f（U）ji-scl（V）。H引理2.9的逆命题不成立，如下面的例子所示。示例2.10.设 X1/4 fa;b;cg， s1/4 f/;fag;fbg;fa;bg;Xg和s2/4 f/;fbg;fa;bg;Xg。 定义一个函数f：<$X; s1; s2<$！X;s1;s2通过设置f a b，f b a和f c c。则f是12-不定，因此12-拟不定，但g不是12-拟不定。显然，12-SOX/;a;b;a;b ;c; a; c; X. 证明了g在c处不是12-拟不定的现在，把Va;a;a ;c;c;c.则V在X · X中12-半开，g cc;f cc;c V和V=21-scl（V）。由于12- SOc a;c;b;c;X，对每个U12- SO（c），g（U）21-scl（V从而证明g在c处不是12-拟不定的。引理2.11. 空间X是成对半T2的当且仅当对于X的每一对相异点x，y，存在U2 ij-SO（X，x）和V2ij-SO（X，y）使得ij-scl（U）\ij-scl（V）=/.证据 这直接由引理1.4得出。H定理2.12. 设Y是两半T2-空间且f：<$X; s1; s2< $ ！ 若X是逐层拟不定内射，则X是逐层半T2.证据设x1，x22X，x1则由引理2.11可知，存在包含f x1的V12ij-SOY和包含fx2的V22ij-SOY，使得ij-scl（V1）\ij-scl（V2）=/.由于f是两两拟不定的，所以存在包含x1的 U12ij-SO（ X ） 和 包 含 x2 的 U22ij-SO （ X ） ， 使 得 f<$U1<$uij-sclerov1<$，f<$U2 <$uij-sclerov2<$uij-sclerov2. 由于f是注入，则U1\U2¼/。因此X是成对的半T2.H10F.H. Khedr，H.S. Al-Saadi2ð ð ÞÞ ⊂ ð Þ⊂！Þ2 Þ2\n[编辑]2第二章2人\\1 / 2×3×4×2ð Þ2\22！12ð⊂ð Þ）2）-2⊂2）22定理2.13. 如果一个函数f：<$X; s1; s2< $ ！ 若X是两两拟不定的ij- 准半闭的，则对Y的每一个ij-h-sg-闭集F，f-1（F）是X的ij-h-sg-闭集.证据设F是Y的一个ij-h-sg-闭集。设f-1（F）cU，其中U ij-SO（X）。由于f是ij-预半闭的，根据引理1.6，存在ij-半开集V，使得FcV和f-1（V）cU。设F是ij-h-sg-闭集，且F是cV，则有ij-sclh（F）cV. 因此f-1ij-scl hFf-1V U。 以来F是 成对 拟不定的 和 通过 定理 2.5，ij-sclh （f-1（F））cU，因此f-1<$F∈是X中的ij-h-sg-闭集.H定理2.14. 若空间X是成对半T1 = 2且f：<$X; s1; s2< $ ！ 若Y; r1; r2是满射的，ij-拟不定的，ij-预半闭的，则Y是成对半T1= 2的.证据设A是Y的一个ij-h-sg-闭子集。则由定理2.13，我们有f-1（A）是X的一个ij-h-sg-闭子集。由定理2.12，f-1（A）是ij-半闭的，因此A是ij-半闭的. 因此，Y是成对半T1= 2。H定义2.15.设X和Y是双拓扑空间。X·Y的子集S称为ij-强半闭的，如果对每个<$x;y<$2 <$X×Y<$nS ， 存 在 U2ji-SO （ X ， x ） 和V2ij-SO（Y，y）使得[ij-scl（U）·ji-scl（V）\S =/.定义2.16.函数f：X！称Y是ij-强半闭图，如果它的图G（f）在X · Y中是ij-强半闭的，其中G（f）是ij-强半闭图，其中G（f）是ij-强半闭图.定理2.17. 如果一个函数f：<$X; s1; s2< $ ！ 若G（f）是ij-拟不定式且Y是两两半T2，则G（f）是ij-强半h-闭的.证据 设（x，y）R G（f），则有y- f. 由于Y是奇偶半T2，根据引理2.11，存在W2ij-SO（Y，f（x））和Vij-SO（Y，y）使得ij-scl（W）ij-scl（V）=f.以来f是ij-拟不定的，根据定理2.4，存在Uji-SO（X，x）使得f（ij-scl（U））cij-scl（W）.因此，我们有f（ij-scl（U））\ji-scl（V）=f。这表明G（f）是ij-强半闭的. H定理2.18. 如果函数f：X！Y有ij-强半h-闭图，g：X！ Y是ij-拟不定函数，则集合A x1;x2X X：f x1g x2是一个X· X中的ij-强半h-闭证据 设（x1，x2）<$R（X·X）nA. 然后我们有f<$x1<$- g<$x 2 <$$>，因此有<$x 1 ; g <$x 2 <$$> X × Y <$n G <$f<$。由于G（f）是ij-强半h-闭的，所以存在U2ij-SO（g）x1∞ 和 W2ij-SO （ g ） x2∞ ， 使 得 f （ ij-scl （ U ） ） \ji-scl（W）=/.由于g是ij-拟不定的，则存在Vij-SOx2使得g（i j-scl（V））cj i-scl（W）。因此，我们得到f（ij-scl（U））g（ij-scl（V））= f，因此[ij-scl（U）·ji-scl（V）A= f。因此A在X · X中是ij-强半h-闭的. H推论2.19。 如果f：X！若Y是ij-拟不定函数，且Y 是 两 两 半 T2 ， 则 集 合 A<$f<$x1;x2< $2X×Xn f<$x1<$f<$x2<$g在X·X中是ij-强半h-闭的.证据 这是定理2.17的直接结果，2.18. H定义2.20.空间X是ij-半连通的，如果X不能表示为两个不相交的非空子集U和V的并，使得U2ij-SO（X）和V2ji-SO（X）。定理2.21. 若f：XY是P-拟不定满射，且X是P-半连通的，则Y是P-半连通的.证据假设Y不是P-半连通的。则Y是两个非空的不相交的V12ij-SO（Y）和V22ij-SO（Y）的并，使得V1|V21/4/1和V1[V21/4/2/Y 。 设 W11<$ij-scleroV1 和 W2<$ij-scleroV2。则I-W1-W2 ij -SR（Y），通过引理1.4，使得W 1 W 2和W1W2Y.因此，我们有f-1（W1-f，f-1（W2f-1W2f-1（W1f-1W2=X.此外，根据定理2.4，f-1（W1ij-SR（X））和f-1（W2ij-SR（X））都成立. 这表明X不是P-半连通的，这是一个矛盾的-第因此，Y是P-半连通的。H3. ij-强不定函数的特征定义3.1. [6]称函数f：XY是ij-强不定的，如果对每个x X和每个V ij-SO（Y，f（x）），存在U ij-SO（X，x）使得f（ij-scl（U））V。如果f是12-强不定的和21-强不定的，则f称为两两强不定的。定理3.2. 下面的语句对于函数f是等价的：X！Y.(i) f是ij-强不定的。(ii) ij-sclh（f-1（B））cf-1（ij-scl（B））.(iii) f（ij-sclh（A））cij-scl（f（A））.(iv) f-1（F）在X中是ij-半-h-闭的，对每个F2ij-SC（Y）.(v) f-1（V）在X中是ij-半h-开的，对每个V2ij-SO（Y）.证据(i)（ii）设B∈Y且x∈ Rf-1（ij-scl（B））.则f（x）Rij-scl（B）存在V2ij-SO（Y，f（x））使得VB=/.对于（i），存在Uij-SO（X，x）使得f（ij-scl（U））cV.因此，我们有ij-scl（U）f-1（B）= 1，因此xR ij-scl h（f-1（B））。H(ii)(iii)：对于X的任何子集A，通过（ii），我们有i j-scl h （ A）c i j scl h（ f-1 （ f（ A）c f-1 （ i j-scl（ f（A），因此f（i j-scl hA）c i j-scl（f（A））。(iii)㈣：任何Fij-SC（Y），通过（三）我们有f ij-scl h（f-1（F）ij-scl（ F）=F，因 此ij-sclh（f-1（F））c f-1（F）. 证明了f-1（F）是ij-半h-闭的.(iv) ）（v）：对任意V2ij-SO（Y），YnV2ij-SC（Y）且Xnf-1（v）=f-1（YnV）是ij-半h-闭的. 因此，f-1（V）在X中是ij-半h-开的.(v)（1）设x，X和Vij-SO（Y，f（x））. 则通过（v），f-1（V）在X中是ij-半h-开的.存在Uij-SO（X）使得xUij-scl（U）cf-1（V）.因此，我们有f（ij-scl（U））c V。两两弱和两两强不定函数112222ð Þ ð Þ！！22！[f]2002年r grr[f2r gf2rg22222222 ！！！×n 2\n！[f]gf2rg121212定理3.3. Iff：X; s1; s2！ 若r1，r2是ij-str-nglyr-解，则f是ij-h-sg-连续的。证据设V是Y的ji-半闭集。由于f是ji-强不定的，则根据定理3.2，f-1（V）是ij-半h-闭的. 根据引理1.9（i），f-1（V）是ij-h-sg-闭的.因此f是ij-h-sg-连续的.H上述定理的逆命题不一定为真，下面的例子表明.实 施 例 3.4. 设 X1/4 fa;b;c;dg ， Y1/4 fx;y;zg ， s1/4f/;fcg;fb;cg;Xg，s2/4 f/;fc;dg;Xg，r1/4 f/;fzg;Yg和r2/4f/;fy; zg; Yg。 定义一个函数f：<$X; s1; s2< $ ！ 通过设置faf bfdx和fc z，可获得rY; r 1 ; r2。则f是12-h-sg-连续的，因为A<$fa;b;dg <$f-1<$fxgn是12-h-sg-闭的。但A不是21-半h-闭的.因此f不是21-slrongly不定，因为{x}在Y中是21-半闭的。定理3.5. 设f：<$X; s; s< $ ！Y;r;r得到f（ij-scl（U））c V。接下来，设x2X和U2ij-SO（x）. 由于g（x）2U·X2 ij-SO（X·Y），存在U02 ij-SO（ X） 使 得g（ ij-scl（ U0 ） U×Y.因 此 ， 我 们 得 到x2U0U，因此X是ij-半正则的。H备注3.8.定理3.7的逆命题不成立，因为在例2.10中，f是12-强不定的，X是12-半正则的，但g不是12-强不定的。定理3.9. 如果f：X！如果Y是P-强不定内射，且Y是P-半T0，则X是P-半T2.证据设x和y是X的任意一对不同的点。因为f是单射的，所以f x由于Y是P-半T0，存在不含f（y）的Vij-SO（f（x））或不含f（x）的Wji-SO（f（y如果f（y）RVij-SO（f（x））成立，且f是P-强不定的，则存在Uij-SO（X）使得f（ji-scl（U））cV.因此，我们得到f（y）Rf（ji-scl（U）），从而得到y2Xnji-scl（U）2ji-SO（X）.如果其他的情况下，我们得到类似的结果。因此，X是！m1;m2是两个函数，则：(i) 如果f是ij-强不定的，g是ij-不定的，则go f：XZ是ij-强不定的。(ii) 若f是ij-拟不定的，g是ij-强不定的，则gof是ij-强不定的。证明(i) 设V ij-SO（Z）.则g-1（V）ij-SO（Y），因为g是ij-不定的.由定理3.2，f-1（g-1（V））=（gof）-1（V）在X中是ij-半h-开的.因此，gof是ij-强不确定性。(ii) 这 如下 立即 从 定理 2.5和3.2. H定理3.6. ij-不定函数f：XY是ij-强不定的当且仅当X是ij-半正则的。证据 令f：X！ X是恒等函数。则f是ij-不确定的，且ij-强 假 设 不 定 的 .对 任 意x2X和 任 意 不 含 x的 F2ij-SC（X），f∈x2ij-SO（X）且存在U2ij-SO（X）使得f（ij-）scl（U））cXnF.因此，我们认为，我们获得x2U2ij-SO（X），半T2。 H4. ij-半紧空间和ij-s-闭空间。定义4.1.设A是空间X的子集，则：(i) 一个子集A被称为相对于X（resp. ij-s-闭于X[7]），如果对于每个覆盖Va：A的A乘X的ij0的这样的Va：a0（分别） A ij-sclVa：a0.(ii) 空间X称为ij-半紧的[5]（resp.ij-s-闭的[7]），如果X是相对于X的ij-半紧的（resp. ij-s-相对于X闭合）。(iii) 如果子空间A是ij-半紧的，则称子集A定理4.2. 设f：XY是ij-强不定函数.若A相对于X是ij-s-闭的，则f（A）是ij-semi-紧的。证据设A相对于X是ij-s-闭的，且fVa：a2rgany且U（Xij-scl（U））=1。 很明显X是ij-半正则的。H反之，设f：XY是ij-不定的，X是ij-半正则的。任何X X和任何Vij-SO（f（x）），f-1（V）ij-SO（X）且存在U ij-SO（X），使得X Uji-scl（U）cf-1（V），根据引理1.7。所以我们f（ij）-scl（U）c这表明f是ij-强不定的。定理3.7. 设f：XY为函数，g：XXYf的图函数。若g是ij-强不定的，则f是ij-强不定的，X是ij-半正则的.证据首先证明了f是ij-强不定的。设x X和V ij-SO（f（x））. 则X·V是X·Y的包含g（x）的ij -半开集。由于g是 ij- 强 不 定 的 ， 存 在 U2 ij-SO （ X ） 使 得 g （ ij-scl（U））cX·V. 所以我们f（A）被Y的ij-半开集覆盖对于每个x2A，有存在a（x）2$使得f<$x<$2Va<$x<$。 由于f是ij-强不可逆的，存在Ux2ij-SO（X）使得f∈ij-scl<$Ux <$$> Va <$x<$. 族fUx ： x2Ag 形 成 A 的 ij- 半 开 覆 盖 ， 并 且 存 在 有 限 个 点x1;x2;.。. ;xn，使得A∈[fi j-scl∈Uxij]：i∈1; 2;. . . n g. 因此，我们得到f AV axi：i1; 2;. . ;n.因此f（A）相对于Y是ij-半紧的。H推论4.3。若X是ij-s-闭的，且f：XY是ij-拟无解的（或ij-强不定）满射，则Y是ij-s-闭的（分别为. ij-半紧）。证据第二种情况由定理4.2得出。我们将展示第一个。设fVa：a2rg是Y. 根据引理1.4，ij-sclVa：a是一个封面Y的ij-Y的半正则集。由定理2.4可知12F.H. Khedr，H.S. Al-Saadif-2rg你好！ ðÞ2nnð Þ⊂ n 2 ⊂ n ð Þ n ð Þð Þ⊂ n ⊂ ðn22！2你好！ ðÞ221212！你好！ ðÞ族f-1ij scl Va：a是X的ij-半正则集的覆盖。由于X是ij-s-闭的，则存在r的有限子集r0，使得X^[f -1ij-sclVa：a2r0g，根据引理1.8。因为f是满射，我们有Y<$^fij-scl<$Va：a2r0g。 这表明Y是i j-s-闭的。 H函数f：X！ Y被称为ij-预半闭[8]，如果f∈F∈ 2ij-SC（Y），对每个F2ij-SC（X）.引理4.4.满射f：X！ Y是ij-预半闭的当且仅当对每个点y2 Y和每个包含f-1 ≠ y2的U2 ij-SO（X），存在V2ij-SO（Y）使得f-1（V）cU.证据第一个方面由引理1.6得出。另一方面，设A是X的ij-半开集。 假设其中XA是X的ij-半闭集。通过hypos-tasis，那里 存在 一个 ij-半开 设置 VcY 使得f-1VX A.因此一f-1Y 五，这意味F AYV.因此yVYF A和YF A是ij-半开集Y。证明了f（A）是Y中的ij-半闭集因此f是ij-预半闭的。H定理4.5. 设f：XY是ij-准半闭满射，f-1（y）是ij-s-闭的（分别为：ij-相对于Y的半紧）。若K相对于Y是ij-半紧的，则f-1（K）相对于X是ij-s-闭的（分别为ij-相对于Y的半紧）。证据设对任意Y，f-1（y）相对于Y是ij-s-闭的，K相对于Y是ij-半紧的.设fUa：a2rg是X的ij-半开集对f-1（K）的覆盖. 对于每个y2K，存在r的有限子集ry，使得f-1（y）c[{ij-sc lUa：a2ryg。通过引理一点四，ij-scl（U ）a∈ 2i j-SO（X），因此[fi j-scl（U）a∈ 2ij-SO（X）]为2 r根据引理4.4 ， 存 在 Vy2ij-SO （ y ） 使 得 f-1 （ Vy ） ≠[fij-scl≠Ua≠ ：a2rj≠y] g. 由于fVy：y2Kg是K的ij -半开覆盖，对于有限个点y1; y2;. . . ; yn在K中，我们有K∈[fVyi：i<$1; 2;。 . . ;ng和因此f -1K[n f-1Vy[n [a2r y（ij-sclu au.实 施 例 5.3. 设 X^Y^fa;b;cg ， s1^f/;fag;fbg;fa;bg;Xg ，s2^f/;fag;fcg;fa;cg;fb;cg;Xg，r1^f/;fag;fb;cg;Yg和r2^f/;fbg;fb;cg;Yg 。然 后的身 份功 能f ：X;s1;s2Y;r1;r2是12-强不定的但不是1-连续示例5.4.设X1/4Y1/4fa;b;cg，s1/4f/;fbg;fa;bg;fb;cg;Xg ， s2/4f/;fag;fa;cg;Xg ， r1/4f/;fag;fb;cg;Yg 和 r2/4 f/;fag;fcg;fa;cg;Yg 。 那 么 函 数 f ：<$X;s1;s2<$！r1; r2由fab bb b和fcc cc定义。显然f是1-连续的。由于b2fffa;bg;Xg，则对于每个U212-SO（a），我们有f21-scl（a）对于每个U212-SO（a）。这表明f不是12-拟不定的。定理5.5. ij-不定性包含ij-拟不定性和ij-半连续性。证据简单地说，每个i-开集都是ij-半开集，[[6]，注释5.1]。H定理5.5的逆命题不成立，如例5.4和下面的例子所示。示 例 5.6. 设 X1/4 fa;b;cg ， s1/4 f/;fa;bg;Xg ， s2/4f/;fa;cg;Xg，r1/4 f/;fb;cg;Xg和r2/4 f/;Xg。则恒等函数f：X;s;sX;r;r是12-拟无解的。琵琶。然而，f不是12-半连续的，因此也不是12-不定的。定理5.7. ij-拟不定蕴含ij-半弱连续。证据 这是从定义开始的。H上述定理的逆命题不成立，因为在例5.4中，f是12-半弱连续的，但不是12-拟不定的。备注5.8.每个ij-半连续函数都是ij-半连续的，-1升1ii¼1i弱连续但反之不成立，因此，f（K）相对于X是ij-s-闭的。 的证明相对于Y的ij-半紧的情况是类似的。H推论4.6。设f：X，Y是ij-准半闭曲面，f-1（y）是关于Y的ij-s-闭曲面（分别为.ij-相对于Y的半紧）。如果Y是ij-半紧的，则X是ij-s-闭的（分别为ij-半紧）。证据 这是由定理4.5直接得出的。H5. 比较。定义5.1. 一个函数f：X; s1; s2！若对f（x）的每个x X和每个ri-开邻域V，存在Uij-SO（X），使得即f（U）cj-cl（V）。备注5.2. ij-强不定蕴含ij-不定，ij-不定蕴含ij-准不定。然而，ij-强非线性和i-连续是相互独立的，如以下两个例子所示。例子表明。示例5.9.设X1/4 fa;bg，s1/4 f/;fag;Xg，s2/4 f/;Xg，r1/4f/;fbg;Xg和r2/4 f/;fag;fbg;Xg。则恒等函数f：X;s1;s2X;r1;r2是12-半弱连续的，但不是12-半连续的。备注5.10.每个ij-强不定函数都是ij-不定函数.反之不一定成立，下面的例子说明了这一点。例如5.11. 让X¼ fa;b;cg，s1¼ f/;fa;bg;Xg，s2¼f/;fbg;fa;bg;Xg，r1¼ f/;fb;cg;Xg和r2¼ f/;Xg。那么函数f：<$X;s1;s2<$！rx;r1;r2定义为fa c、fbb和fc a。则f是12-不定的，但f不是12-强不定的，因为{b，c}212-SO（ X ） 和 12- SO （ X ） = {f ， {a ， b} ， X} 使 得 21-scl（{a，b}）=X.因此f<$X <$fb;cg，因此f不是12-强不定的。通过[[6]，备注5.1]和本节中的备注，我们得到下图，其中没有任何蕴涵是可逆的。两两弱和两两强不定函数13ij-强不定Ij-犹豫不决i-连续ij-半连续ij-拟不定14ij-半小波连续引用[1] S.李明，李明辉，李明辉，等，双拓扑空间中的半开集、半连续性和半开映射，北京大学学报，1981，第73卷，第237[2] S. Bose，D. Sinha，双拓扑空间中的成对几乎连续映射和弱连续映射，Bull。Cal. 数学Soc. 74（1982）195[3] J.C.陈文辉，双拓扑空间，北京大学学报，2001年第3期，第13卷，第71[4] F.H. Khedr，双拓扑空间中的h-不定映射，Arabian J. Sci.Eng.16（3）（1991）423[5] F.H. Khedr，A.M. Al-shibani，双拓扑空间中的弱和强h-不定函数，Bull。面Sci. 艾斯尤特大学23（1-c）（1994）69[6] F.H. Khedr，T. Noiri，双拓扑空间中的成对几乎s-连续函数，J。埃及数学Soc. 15（1）（2007）89[7] F.H. Khedr，T. Noiri，s-closedness in bitoplogical spaces，J.Egyptian Math.Soc.15（1）（2007）79