通过python绘图展示CRR模型的收敛性

CRR模型（Cox-Ross-Rubinstein模型）是二叉树模型的一种，用于定价欧式和美式期权。下面给出一个使用Python绘制CRR模型收敛性的例子：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def CRR(S, K, r, sigma, T, N):
    dt = T / N
    u = np.exp(sigma * np.sqrt(dt))
    d = 1 / u
    p = (np.exp(r * dt) - d) / (u - d)
    
    # 初始化树
    stock_price = np.zeros((N+1, N+1))
    option_price = np.zeros((N+1, N+1))
    
    for j in range(N+1):
        stock_price[N][j] = S * u ** (N-j) * d ** j
        option_price[N][j] = max(stock_price[N][j] - K, 0)
        
    # 向下递推
    for i in range(N-1, -1, -1):
        for j in range(i+1):
            stock_price[i][j] = stock_price[i+1][j] / u
            stock_price[i][j+1] = stock_price[i+1][j] * d
            option_price[i][j] = np.exp(-r*dt) * (p * option_price[i+1][j+1] + (1-p) * option_price[i+1][j])
            
    return option_price[0][0]

# 参数设定
S = 100
K = 100
r = 0.05
sigma = 0.2
T = 1
N = 20

# 绘制不同步数下的收敛性
steps = np.arange(5, 100, 5)
prices = []
for n in steps:
    prices.append(CRR(S, K, r, sigma, T, n))

# 绘图
plt.plot(steps, prices)
plt.xlabel('Steps')
plt.ylabel('Option Price')
plt.title('Convergence of CRR Model')
plt.show()

运行以上代码，会输出一个收敛性的折线图，横轴为步数，纵轴为期权价格。可以看到，随着步数的增加，期权价格收敛于一个稳定值。这是因为二叉树模型是一种离散化的方法，只有在步数无限大时才能精确地定价期权。