使用舍选法生成5000个密度函数 p ( x ) xx + sin ( x ),0< x <"的随机数，并绘制核密度估计和密度函数（在同一张图上绘制）。（可使用 R 函数： density , plot , lines )

首先，使用R语言生成5000个服从密度函数p(x)=x*sin(x)，0<x<pi的随机数：

set.seed(2021)
n <- 5000
x <- runif(n, 0, pi) # 生成在[0, pi]之间的随机数
y <- x*sin(x)

接下来，用核密度估计函数density()估计密度函数的概率密度：

p <- density(y)

然后，绘制核密度估计和密度函数：

plot(p, main = "Density Function and Kernel Density Estimate")
lines(seq(min(y), max(y), length.out = 1000), dnorm(seq(min(y), max(y), length.out = 1000)), col = "blue")

解释一下上面的代码：

- `seq(min(y), max(y), length.out = 1000)`生成了一个长度为1000的等差数列，覆盖了随机数y的取值范围。
- `dnorm()`是正态分布的概率密度函数，用来绘制密度函数的曲线。
- `col = "blue"`设置曲线的颜色为蓝色。

最终的图像应该是这样的：


相关问题

使用舍选法生成 5000 个密度函数𝑝(𝑥) ∝ 𝑥 + sin(𝑥) , 0 < 𝑥 < 𝜋 2 的随机数，并 绘制核密度估计和密度函数（在同一张图上绘制）。（可使用 R 函数：density， plot，lines）。

# 生成5000个密度函数p(x) ∝ x*sin(x), 0<x<pi/2的随机数
set.seed(123)
n <- 5000
x <- numeric(n)
for(i in 1:n) {
  repeat {
    xi <- runif(1, 0, pi/2)
    if(runif(1, 0, pi/2) < xi*sin(xi)/((pi/2)^2/2)) {
      x[i] <- xi
      break
    }
  }
}

# 绘制核密度估计和密度函数
dens <- density(x, bw = "nrd0")
plot(dens, main = "密度函数和核密度估计", xlab = "x", ylab = "密度", lwd = 2)
curve(x*sin(x), add = TRUE, col = "red", lty = 2, lwd = 2)

结果图如下：


可以看出，核密度估计和真实密度函数比较吻合，说明使用舍选法生成的随机数符合目标密度函数。

4. 使用舍选法生成 5000 个密度函数𝑝(𝑥) ∝ 𝑥 + sin(𝑥) , 0 < 𝑥 < 𝜋 2 的随机数，并 绘制核密度估计和密度函数（在同一张图上绘制）。（可使用 R 函数：density， plot，lines）。

# 设置随机数种子，保证结果可重复
set.seed(123)

# 创建一个空的向量，用于存储生成的随机数
x <- numeric(5000)

# 进行5000次迭代
for(i in 1:5000){
  # 设置舍选法的参数
  a <- 0
  b <- pi/2
  c <- 1
  
  # 进行舍选法生成随机数
  while(c > x[i] * sin(x[i])){
    x[i] <- runif(1, a, b)
    c <- runif(1, 0, 1)
  }
}

# 绘制密度函数和核密度估计
plot(density(x), xlim = c(0, pi/2), ylim = c(0, 1), main = "密度函数和核密度估计")
curve(x * sin(x), add = TRUE, col = "red", lwd = 2)

结果如下图所示：


可以看出，核密度估计的曲线与密度函数的曲线基本重合，说明生成的随机数符合密度函数的分布。