1.某修理店只有一名修理工,来修理的顾客到达过程为泊松流,平均4人/小时;修理时间服从指数分布,平均需要6分钟。试求: (1)修理店空闲的概率; (2)店内恰有5位顾客的概率; (3)店内至少有1位顾客的概率; (4)在店内的平均顾客数; (5)每位顾客在店内的平均逗留时间; (6)等待服务的平均顾客数; (7)每位顾客的平均等待服务时间; (8)顾客在店内等待时间超过10分钟的概率。
时间: 2024-01-10 18:05:10 浏览: 20
好的,我来逐一回答您的问题。
(1)修理店空闲的概率:
由于到达过程为泊松流,平均到达率为λ=4人/小时,而修理时间服从指数分布,平均修理率为μ=10人/小时(即1/6分钟/人)。因此,修理店空闲的概率可以用 M/M/1 模型的空闲概率公式计算:
P0 = 1 - ρ = 1 - λ/μ = 1 - 4/10 = 0.6
(2)店内恰有5位顾客的概率:
由于到达过程为泊松流,平均到达率为λ=4人/小时,而修理时间服从指数分布,平均修理率为μ=10人/小时(即1/6分钟/人)。因此,店内顾客数符合 M/M/1/K 模型。由于只有一名修理工,K=1。因此,店内恰有5位顾客的概率可以用 M/M/1/K 模型的概率公式计算:
P5 = (λ/μ)⁵/(5!) * (1 - λ/μ)
= (4/10)⁵/120 * (6/10)
≈ 0.088
(3)店内至少有1位顾客的概率:
由于到达过程为泊松流,平均到达率为λ=4人/小时,而修理时间服从指数分布,平均修理率为μ=10人/小时(即1/6分钟/人)。因此,店内顾客数符合 M/M/1/K 模型。由于只有一名修理工,K=1。因此,店内至少有1位顾客的概率可以用 M/M/1/K 模型的概率公式计算:
P1+2+3+4+5 = 1 - P0
= 1 - 0.6
= 0.4
(4)在店内的平均顾客数:
由于到达过程为泊松流,平均到达率为λ=4人/小时,而修理时间服从指数分布,平均修理率为μ=10人/小时(即1/6分钟/人)。因此,店内顾客数符合 M/M/1/K 模型。由于只有一名修理工,K=1。因此,在店内的平均顾客数可以用 M/M/1/K 模型的平均顾客数公式计算:
Ls = λ/(μ-λ)
= 4/(10-4)
= 0.67 人
(5)每位顾客在店内的平均逗留时间:
由于到达过程为泊松流,平均到达率为λ=4人/小时,而修理时间服从指数分布,平均修理率为μ=10人/小时(即1/6分钟/人)。因此,每位顾客在店内的平均逗留时间可以用 M/M/1 模型的平均逗留时间公式计算:
Ws = 1/(μ-λ)
= 1/(10-4)
= 0.1667 小时/人
≈ 10 分钟/人
(6)等待服务的平均顾客数:
由于到达过程为泊松流,平均到达率为λ=4人/小时,而修理时间服从指数分布,平均修理率为μ=10人/小时(即1/6分钟/人)。因此,等待服务的平均顾客数可以用 M/M/1 模型的平均排队长度公式计算:
Lq = λ²/(μ(μ-λ))
= 4²/(10*(10-4))
= 0.8 人
(7)每位顾客的平均等待服务时间:
由于到达过程为泊松流,平均到达率为λ=4人/小时,而修理时间服从指数分布,平均修理率为μ=10人/小时(即1/6分钟/人)。因此,每位顾客的平均等待服务时间可以用 M/M/1 模型的平均排队时间公式计算:
Wq = λ/(μ(μ-λ))
= 4/(10*(10-4))
= 0.4 小时/人
≈ 24 分钟/人
(8)顾客在店内等待时间超过10分钟的概率:
由于到达过程为泊松流,平均到达率为λ=4人/小时,而修理时间服从指数分布,平均修理率为μ=10人/小时(即1/6分钟/人)。因此,顾客在店内等待时间符合 M/M/1 模型的等待时间分布,为负指数分布。因此,顾客在店内等待时间超过10分钟的概率可以用负指数分布的概率公式计算:
P(W > 10) = e^(-μ(W-λ))
= e^(-10/6*(10-4))
≈ 0.091