求 s = (1*2^1)+(3*2^2)+(5*2^3)+...+((2n-1)*2^n) 的通项
时间: 2023-11-01 18:08:05 浏览: 32
首先,将每一项拆开,得到:
s = 1*2^1 + 3*2^2 + 5*2^3 + ... + (2n - 1)*2^n
= (1*2^0 + 1*2^1 + 1*2^2 + ... + 1*2^n) +
(0*2^1 + 1*2^2 + 1*2^3 + ... + 1*2^n) +
(0*2^2 + 0*2^3 + 1*2^4 + ... + 1*2^n) +
... +
(0*2^(n-1) + 0*2^n + 1*2^(n+1))
观察可得,每一项的系数都是二进制下的 1,而在第 k 项后面,有 k-1 个 0。因此,将每一项的系数和 0/1 填入二进制数列中,可以得到:
1 | 1 0 0 0 ... 0
3 | 1 1 0 0 ... 0
5 | 1 0 1 0 ... 0
. | . . . . . . .
. | . . . . . . .
. | . . . . . . .
2n-1 | 1 0 0 0 ... 1
对于第 k 项,它的系数为二进制数列中的第 k 列,且在第 k 列前面有 k-1 个 0。因此,第 k 项的系数为 2^(k-1) + 2^(k-2) + ... + 2^0,即 2^k - 1。
因此,原式可化为:
s = (1*(2^1-1)) + (3*(2^2-1)) + (5*(2^3-1)) + ... + ((2n-1)*(2^n-1))
= (2^1-1) + 3*(2^2-1) + 5*(2^3-1) + ... + (2n-1)*(2^n-1)
= (2^1+3*2^2+5*2^3+...+2n*2^n) - (1+3+5+...+2n-1)
= (2^1+3*2^2+5*2^3+...+2n*2^n) - n^2
因此,s 的通项公式为 2^1+3*2^2+5*2^3+...+2n*2^n - n^2。