一个4×4行列式。第一行为1,2,3,4,第二行为1,3,4,1,第三行为1,4,1,2,第四行为1,1,2,3,请计算它的值
时间: 2024-06-05 15:11:30 浏览: 4
根据行列式的定义,可以将该行列式展开为以下形式:
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 4 & 1 \\
1 & 4 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix}
= 1\times
\begin{vmatrix}
3 & 4 & 1 \\
4 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix}
-2\times
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 1 \\
4 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix}
+3\times
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 1 \\
3 & 4 & 1 \\
1 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix}
-4\times
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 1 \\
3 & 4 & 1 \\
4 & 1 & 2 \\
\end{vmatrix}
$$
接下来,我们需要计算这四个 $3\times3$ 行列式的值。我们可以通过对其中的任意一行或一列进行展开来计算其值。
首先,计算第一个行列式的值:
$$
\begin{vmatrix}
3 & 4 & 1 \\
4 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix}
=3\times
\begin{vmatrix}
4 & 1 \\
2 & 3 \\
\end{vmatrix}
-4\times
\begin{vmatrix}
4 & 2 \\
1 & 3 \\
\end{vmatrix}
+1\times
\begin{vmatrix}
4 & 2 \\
1 & 1 \\
\end{vmatrix}
=3\times(12-2)-4\times(12-2)+1\times(4-2)=-36
$$
然后,计算第二个行列式的值:
$$
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 1 \\
4 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix}
=-1\times
\begin{vmatrix}
4 & 2 \\
2 & 3 \\
\end{vmatrix}
+4\times
\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
2 & 3 \\
\end{vmatrix}
-1\times
\begin{vmatrix}
1 & 4 \\
2 & 3 \\
\end{vmatrix}
=-1\times(12-4)+4\times(3-4)-1\times(3-8)=5
$$
接下来,计算第三个行列式的值:
$$
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 1 \\
3 & 4 & 1 \\
1 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix}
=-1\times
\begin{vmatrix}
4 & 1 \\
2 & 3 \\
\end{vmatrix}
+4\times
\begin{vmatrix}
4 & 1 \\
1 & 3 \\
\end{vmatrix}
-1\times
\begin{vmatrix}
4 & 4 \\
1 & 3 \\
\end{vmatrix}
=-1\times(12-2)+4\times(12-4)-1\times(12-4)=36
$$
最后,计算第四个行列式的值:
$$
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 1 \\
3 & 4 & 1 \\
4 & 1 & 2 \\
\end{vmatrix}
=-1\times
\begin{vmatrix}
4 & 1 \\
1 & 2 \\
\end{vmatrix}
+4\times
\begin{vmatrix}
3 & 1 \\
4 & 2 \\
\end{vmatrix}
-1\times
\begin{vmatrix}
3 & 4 \\
4 & 2 \\
\end{vmatrix}
=-1\times(8-1)+4\times(6-4)-1\times(6-16)=1
$$
将这四个行列式的值代入展开式中,得到:
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 4 & 1 \\
1 & 4 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix}
=1\times(-36)-2\times5+3\times36-4\times1=24
$$
因此,该行列式的值为 24。
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